南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲

《矩阵论》复习提纲与习题选讲Chapter1线性空间和内积空间内容总结：z线性空间的定义、基和维数；z一个向量在一组基下的坐标；z线性子空间的定义与判断；z子空间的交z内积的定义；z内积空间的定义；z向量的长度、距离和正交的概念；zGram-Schmidt标准正交化过程；z标准正交基。习题选讲：1、设表示实数域3]x[RR上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。（1）求的维数；并写出的一组基；求在所取基下的坐标；3]x[R3]x[R221xx++（2）在中定义3]x[R，∫−=11)()(),(dxxgxfgfnxRxgxf][)(),(∈证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；3][xR（3）求与之间的距离；221xx++2x2x1+−（4）证明：是的子空间；2][xR3]x[R（5）写出2[][]3RxRx∩的维数和一组基；王正盛，矩阵论1二、设22R×是实数域R上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。（1）求22R×的维数，并写出其一组基；（2）在(1)所取基下的坐标；⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111（3）设W是实数域R上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。证明：W是22R×的子空间；并写出W的维数和一组基；（4）在W中定义内积，)AB(tr)B,A(T=WB,A∈求出W的一组标准正交基；（5）求与之间的距离；⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221（6）设V是实数域R上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。证明：V也是22R×的子空间；并写出V的维数和一组基；（7）写出子空间的一组基和维数。VW∩王正盛，矩阵论2Chapter2线性映射与线性变换内容总结：„线性映射在基对下的矩阵表示；„矩阵的典型关系：相抵（等价）、相似与相合；„线性变换在基下的矩阵表示；„线性变换在不同基下的矩阵之间的关系——相似；„矩阵的特征值和特征向量的定义与计算；„矩阵可对角化的条件。习题选讲：一、设表示实数域3]x[RR上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。（1）求的维数，并写出的一组基；3]x[R3]x[R（2）在(1)所取基下的坐标；2x2x1++（3）求与之间的距离；23x2x1++2x2x1+−（4）在中定义内积3]x[R，∫−=11)()(),(dxxgxfgfnxRxgxf][)(),(∈求出的一组标准正交基;3][xR(5)在中定义线性变换3]x[RD：D()=)(xf)(xf′,nxRxf][)(∈求D在（1）中所取基下的矩阵表示.二、设，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=496375254A（1）求A的特征多项式和A的全部特征值；（2）求A的全部特征向量；（3）求每个特征值的代数重数和几何重数；（4）判断A是否可对角化。王正盛，矩阵论3Chapter3λ矩阵与矩阵的Jordan标准形内容总结：zλ矩阵的定义与运算；zλ矩阵的smith标准形、不变因子、行列式因子和初等因子；z矩阵的相似的条件；z矩阵的Jordan标准形；z最小多项式理论习题选讲：一、设，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=496375254A（1）求A的特征多项式和A的全部特征值；（2）求A的行列式因子、不变因子、初等因子；（3）写出A的Jordan标准形；（4）写出A的最小多项式（5）求24AA−。王正盛，矩阵论4Chapter4矩阵的因子分解内容总结：„矩阵的满秩分解；„矩阵的三角分解；„了解矩阵的QR分解；„了解矩阵的schur定理和奇异值分解习题选讲：一、（1）已知，作出矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=621911432AA的分解；LU（2）已知，作出矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=010111101011AA的满秩分解；王正盛，矩阵论5Chapter5Hermite矩阵与正定矩阵„Hermite矩阵的定义和性质；„正定矩阵的定义、性质和判定定理；„矩阵不等式习题选讲：一、（1）设，其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=2iii2iii2A1i−=，证明:；0A（2）设，，问：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=201021113A⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111112121BBA吗？说明理由；（3）设均为阶Hermite矩阵，且，，且B,An0A0B≥BAAB=，证明：；0AB≥（4）设均为阶Hermite矩阵，且，即B,An0AA正定，证明：AB相似于实对角矩阵；（5）设均为阶Hermite矩阵，，且；B,An0A0AB证明：；0B(6)证明：若则；,0A,0A1−王正盛，矩阵论6Chapter6范数与极限„向量范数„矩阵范数—1、2、∞、F范数的定义与计算；„范数等价性—范数不等式习题选讲：（1）设，求⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=230321012AFAAAA,,,21∞；（2）设是可逆矩阵，nnCA×∈*是满足1I=的相容矩阵范数，证明：11AA−−≥；（3）设，证明：nmCA×∈22)(AArankAAF≤≤；Chapter8广义逆矩阵„广义逆矩阵的定义„广义逆矩阵+A的定义、性质、计算„利用广义逆矩阵+A判断线性方程组的相容性，并表示通解形式习题选讲：（1）叙述广义逆矩阵+A的定义；（2）设;作出A的满秩分解，并计算⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=120111200321A+A；（3）利用(2)中广义逆矩阵判断如下线性方程组T]3,3,6[Ax=是否相容？若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解。王正盛，矩阵论7