2-风险度量CVaR的介绍和计算

风险度量CVaR的介绍和计算2013.10内容提要1、单期风险度量2、CVaR一、介绍1、单期风险度量11111121212(,,)(,,)()(,,)Rmonotone(translationinvariant,()().XLPPLXFxXLPXXXLXLXXc令表示上可积的随机变量的集合,简记为。设为损失，其分布为，且可积。若映射：，满足下面的单调性()和风险平移不变性)称为是一个：(1)：若,单调性平移不变度量性,则(2)：若常数FFF1,()().RXLXcXc,则一致性风险度量(Coherentriskmeasure)1112121212,[0,1]((1))()(1)().XXXLXLXXXX风险度量的（Convex）：若,,，则凸性1PositiveHomogeneity0()=().XLXX若一个有凸性的风险度量满足如下的正齐次性（），则称其为风险度一致量。：若,，则齐性正次性1112121212Subadditivity,()()().XXXLXLXXXX次可加当一个风险度量满足正齐次性时，则凸性与次可加性（）等价。若,,则性：风险度量也用四个性质定义：单调性、平移不变性、正齐一致次性、次性可加性。单调性:：损失越大风险越大平移不变：原损失加一个确定的损失，只相当于原风险加一个确定数。次可加：风险可以分散化，子公司风险之和大于集团的风险，并购不会增加风险正齐次：并购同类业务，没有分散化效应。但很多时候风险不会线形增加，有争议。Value-at-risk(VaR)()inf{|()},(0,1)qXVaRXxRFxqqVaR的主要缺点:1、次可加性不是一般成立的（椭圆分布时有次可加性）2、只考虑了不利情况（不能接受的损失水平）发生的概率，没有考虑不利情况发生时的损失程度。3、对参数q敏感。ConditionalValue-at-risk(CVaR)11()(),1()(1)(|())11inf{([])min{():1,0.}(())=,(0,}11).1quqqqXqbRCVaRXVaRXduqVaRXEXXVaRXEbEXbXZEZZqFVaRXqqqq其中()=(|()).qqXCVaRXEXXVaRX若为连续分布时+=(|())=(|()),qqCVaREXXVaRXCVaREXXVaRX，upperCVaRlowerCVaRFromUryasev(2000)Averagevalue-at-risk（AVaR）Conditionaltailexpectation(CTE)ConditionalVaR（CVaR）ExpectedShortfall(ES)TailVaR（TVaR）传统上银行业比较支持VaR，保险业更多考虑不利时的损失数量CVaR。只考虑违约的话，VaR比较合适。模拟大样本时的VaR和CVaRVaR=quantile(sort(x),alpha);CVaR=mean(x(xVaR));模拟的股票价格轨道0501001502002503000.80.850.90.9511.051.11.151.20501001502002503000.70.750.80.850.90.9511.051.11.151.21000条模拟的股票价格轨道（r=0.04;sigma=0.3;）0501001502002503000.40.60.811.21.41.61.822.22.4计算一年后的损失20%的概率计算一年后，不利情况发生时（发生概率小于5%）的最小损失值（VaR）计算一年后，不利情况发生时（发生概率小于5%）的平均损失值（CVaR）1(0.8)0.2370.8PS计算走到以下的轨道有多少条0501001502002503000.70.750.80.850.90.9511.051.11.151.21(0.8)0.2370.8PS计算走到以下的轨道有多少条0501001502002503000.40.60.811.21.41.61.822.22.4237条0.051()0.589350VaRS计算损失最大的条轨道中最小损失值0501001502002503000.40.60.811.21.41.61.822.22.450条？0.051()0.518850CVaRS计算损失最大的条轨道的平均损失值0501001502002503000.40.60.811.21.41.61.822.22.450条0.58930501001502002503000.40.50.60.70.80.911.11.21.30.58930.51880.051()0.518850CVaRS计算损失最大的平条轨道的均损失值Matlab程序1主程序cleartt=funsp(1000);plot(tt)s1=tt(end,:);pp=sum(s10.8)/1000alpha=0.05VaR=quantile(sort(s1),alpha)CVaR=mean(s1(s1VaR))n=find(s1VaR)hh=[]y=tt(:,n)plot(y)Matlab程序2子函数functionhh=funsp(Num)hh=[]fori=1:NumT=1;N=255;step=T/N;S(1)=1;r=0.04;sigma=0.3;R=normrnd(0,1,1,N);forn=1:NS(n+1)=S(n)*exp((r-0.5*sigma^2)*step+sigma*step^0.5*R(n));endhh=[hh,S'];end一些CVaR相关的应用文献金融投资和贷款组合优化Krokhmaletal.(2002)、陈剑利和李胜宏(2004)、迟国泰等(2009)供应链运营管理于辉等(2011)、叶飞等(2009)电力和原材料采购郭兴磊等(2011)、颜勤江等(2009)、安智宇和周晶(2009)生产优化桂云苗等(2011)、周任军等(2011)保险产品的设计Consiglioetal.(2009)数据挖掘领域Takeda和Kanamori(2009)。