北京理工大学数字信号处理实验二-利用DFT分析信号频谱

实验2利用DFT分析信号频谱姓名：明眸皓齿王师傅班级：******学号：*********实验时间：第十二周周三下午第二大节1一．实验目的1、加深对DFT原理的理解。2、应用DFT分析信号的频谱。3、深刻理解利用DFT分析信号频谱的原理，分析实现过程中出现的现象及解决方法。二．实验设备与环境计算机、MATLAB软件环境三．实验原理1.DFT与DTFT的关系有限长序列()(01)xnnN的离散时间傅里叶变换()jXe在频率区间(02)的N个等间隔分布的点2/(01)kkNkN上的N个取样值可以由下式表示：212/0()()()NjknjNkNkXexneXk由上式可知，序列()xn的N点DFT()Xk，实际上就是()xn序列的DTFT在N个等间隔频率点2/(01)kkNkN上样本()Xk。2.利用DFT求DTFT方法1：由()Xk恢复出()jXe的方法如图2.1所示：()()()jXkxnXeIDFTDTFT由图2.1所示流程可知：101()()()NjjnknjnNknkXexneXkWeN由式2-2可以得到12()()()NjkkxeXkN其中()x为内插函数12sin(/2)()sin(/2)NjNeN方法2：然而在实际MATLAB计算中，上述插值运算不见得是最好的办法。由于DFT是DTFT的取样值，其相邻两个频率样本点的间距为2/N，所以如果我们增加数据的长度N，使得到的DFT谱线就更加精细，其包络就越接近DTFT的结果，这样就可以利用DFT来近似计算DTFT。如果没有更多数据，可以通过补零来增加数据2长度。3.利用DFT分析连续时间信号的频谱采用计算机分析连续时间信号的频谱，第一步就是把连续时间信号离散化，这里需要进行两个操作：一是采样，二是截断。对于连续时间非周期信号()axt，按采样间隔T进行采样，截取长度M，那么10()()()MjtjntaaanXjxtedtTxnTe对()aXj进行N点频域采样，得到2120()()()MjknNaaMknNTXjTxnTeTXk因此，可以将利用DFT分析连续非周期信号频谱的步骤归纳如下：（1）确定时域采样间隔T，得到离散序列()xn；（2）确定截取长度M，得到M点离散序列()()()Mxnxnwn，这里w(n)为窗口函数。（3）确定频域采样点数N，要求NM。（4）利用FFT计算离散序列的N点DFT，得到()MXk；（5）根据式(2-6)由()MXk计算()aXj采样点的近似值。四．实验内容1.已知(){2,1,1,1}xn，完成如下要求：（1）计算其DTFT，并画出,区间的波形。（2）计算4点DFT，并把结果显示在（1）所画图形中。（3）对()xn补零，计算64点DFT，并显示结果。（4）根据实验结果，分析是否可以由DFT计算DTFT，如果可以，如何实现。（1）代码：x=[2,-1,1,1]n=0:3w=-pi:0.01*pi:piX=x*exp(-j*n'*w)subplot(2,1,1)plot(w,abs(X))xlabel('\Omega/\pi')title('Magnitude')3axistightsubplot(2,1,2)plot(w,angle(X)/pi)xlabel('\Omega/\pi')title('Phase')axistight（2）代码：x=[2,-1,1,1]n=0:3w=-pi:0.01*pi:piX=x*exp(-j*n'*w)subplot(2,1,1)plot(w,abs(X))xlabel('\Omega/\pi')title('Magnitude')axistightsubplot(2,1,2)plot(w,angle(X)/pi)xlabel('\Omega/\pi')title('Phase')axistighty=fft(x)subplot(2,1,1)holdonstem(0:3,abs(y),'fill')title('Magnitude')subplot(2,1,2)holdonstem(0:3,angle(y)/pi,'fill')4ylabel('/\pi')title('Phase')（3）代码：x=[2,-1,1,1]x=[x,zeros(1,60)]y=fft(x,64)subplot(2,1,1)stem(0:63,abs(y),'fill')title('Magnitude')axistightsubplot(2,1,2)stem(0:63,angle(y)/pi,'fill')xlabel('\Omega/\pi')ylabel('/\pi')title('Phase')5（4）由DFT可以计算出DTFT。从上面几个图中我们可以看出，DFT可以看作是DTFT的取样值，其相邻两个频率样本点的间距为2/N，所以如果我们增加数据的长度N（即减小点与点之间的间距），得到的DFT谱线就更加精细，其包络也就越接近DTFT的结果，这样就可以利用DFT来近似计算DTFT。2.考察序列()cos(0.48)cos(0.52)xnnn（1）010n，用DFT估计()xn的频谱；将()xn补零加长到长度为100点序列用DFT估计()xn的频谱。要求画出相应波形。（2）0100n时，用DFT估计()xn的频谱，并画出波形。（3）根据实验结果，分析怎样提高频谱分辨率。（1）代码：n=0:10x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n)y=fft(x)subplot(2,1,1)stem(0:10,abs(y),'fill')title('Magnitude')subplot(2,1,2)stem(0:10,angle(y)/pi,'fill')xlabel('\Omega/\pi')ylabel('/\pi')title('Phase')6补零代码：n=0:10x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n)x=[x,zeros(1,89)]y=fft(x)subplot(2,1,1)stem(0:99,abs(y),'fill')title('Magnitude')subplot(2,1,2)stem(0:99,angle(y)/pi,'fill')xlabel('\Omega/\pi')ylabel('/\pi')title('Phase')7（2）代码：n=0:100x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n)y=fft(x)subplot(2,1,1)stem(0:100,abs(y),'fill')title('Magnitude')subplot(2,1,2)stem(0:100,angle(y)/pi,'fill')xlabel('\Omega/\pi')ylabel('/\pi')title('Phase')（3）通过补零不能提高分辨力，但能提高分辨率。从上述结果，我们可以发现使用DFT计算频谱，得到的结果只是N个频谱样本值，样本值之间的频谱是未知的，像通过一个栅栏观察频谱，称为“栅栏效应”。由1pFt知，频谱分辨率与纪录长度成反比，所以要提高频谱分辨率，就要增加记录时间。故可以通过补零提高频谱分辨率。对于分辨力，可以通过增加取样密度（减小取样间隔）提高频谱分辨力。3.已知信号123()0.15sin(2)sin(2)0.1sin(2),xtftftft其中1f=1Hz，2f=2Hz，3f=3Hz。从()xt的表达式可以看出，它包含三个频率的正弦波，但是，从其时域波形来看，似乎是一个正弦信号，利用DFT做频谱分析，确定适合的参数，使得到的频谱的频率分辨率符合需要。（1）N=50,tp=0.1s时8t=0:0.01:1x=0.15*sin(2*pi*1*t)+sin(2*pi*2*t)-0.1*sin(2*pi*3*t)X=fft(x,100)n=0:99stem(n,abs(X),'filled')xlabel('\Omega/Hz')title('Magnitude')axistight不符合要求（2）N=50,tp=0.5s时：t=0:0.5:1x=0.15*sin(2*pi*1*t)+sin(2*pi*2*t)-0.1*sin(2*pi*3*t)X=fft(x,50)n=0:49stem(n,abs(X),'filled')xlabel('\Omega/Hz')title('Magnitude')axistight9不符合要求（3）N=50,tp=0.01s时t=0:0.01:1x=0.15*sin(2*pi*1*t)+sin(2*pi*2*t)-0.1*sin(2*pi*3*t)X=fft(x,50)n=0:49stem(n,abs(X),'filled')xlabel('\Omega/Hz')title('Magnitude')axistighttp符合要求，但是只有4个冲击点，应该有6个，故应增大N。（4）N=100,tp=0.01s10t=0:0.01:1x=0.15*sin(2*pi*1*t)+sin(2*pi*2*t)-0.1*sin(2*pi*3*t)X=fft(x,100)n=0:99stem(n,abs(X),'filled')xlabel('\Omega/Hz')title('Magnitude')axistight此时DFT的包络形状已经很接近DTFT了。故取N=100,tp=0.01s4.利用DFT近似分析连续时间信号0.1()()txteut的频谱。分析采用不同的采样间隔和截取长度进行计算的结果，并最终确定适合的参数。（1）tp=1s,N=10t=0:10x=exp(-0.1*t)X=fft(x,11)stem(t,abs(X),'filled')xlabel('\Omega/Hz')title('Magnitude')axistight11（2）tp=1s,N=100t=0:0.1:10x=exp(-0.1*t)X=fft(x,101)stem(t,abs(X),'filled')xlabel('\Omega/Hz')title('Magnitude')axistight（3）tp=0.1s,N=100t=0:0.1:10x=exp(-0.1*t)X=fft(x,101)stem(t,abs(X),'filled')12xlabel('\Omega/Hz')title('Magnitude')axistight（4）tp=0.1s,N=1000t=0:0.1:100x=exp(-0.1*t)X=fft(x,1001)stem(t,abs(X),'filled')xlabel('\Omega/Hz')title('Magnitude')axistight可以看出tp=0.1s,N=1000时，DFT包络已经很接近DTFT结果了。分析：从上面几个图我们可以看出，取样间隔越小，即采样点数越多，得到信号的频谱分辨力就越强；增加数据的长度N，得到的DFT谱线就越精细，其包络就越接近DTFT13的结果。因此，应该缩小取样间隔T，增加数据的长度N。五．心得与体会通过本次实验，加深了我对于利用DFT分析信号频谱的原理的理解，通过分析实现过程中出现的现象及解决方法，加深了对DFT原理的理解。我学会了应用DFT分析信号的频谱。从实验中我得到的结论有：（1）由DFT可以计算出DTFT。DFT可以看作是DTFT的取样值，其相邻两个频率样本点的间距为2/N，增加数据的长度N得到的DFT谱线就更加精细，其包络也就越接近DTFT的结果；（2）通过补零不能提高分辨力，但能提高分辨率。对于分辨力，可以通过增加取样密度（减小取样间隔）来提高。我们还应该注意的