导数专题之切割线放缩

导数专题之切割线放缩切线放缩若函数()yfx在区间[,]ab上有凹凸性，可以利用切线000'yfxxxfx进行放缩．（1）若函数()yfx的图象在区间[,]ab下凸（''()0fx），则有：000()'fxfxxxfx；（2）若函数()yfx的图象在区间[,]ab上凸（''()0fx），则有：000()'fxfxxxfx.割线放缩若函数()yfx在区间[,]ab上有凹凸性，可以利用割线()()()()fbfayxafaba进行放缩．（1）若函数()yfx的图象在区间[,]ab下凸（''()0fx），则有：()()()()()fbfafxxafaba；（2）若函数()yfx的图象在区间[,]ab上凸（''()0fx），则有：()()()()()fbfafxxafaba.附函数凹凸性的定义1、凹函数定义：设函数()yfx在区间I上连续，对12,xxI，若恒有1212()()()22xxfxfxf，则称()yfx的图象是上凹/下凸的，函数()yfx为上凹/下凸函数；二阶导数''()0fx2、凸函数定义：设函数()yfx在区间I上连续，对12,xxI，若恒有1212()()()22xxfxfxf，则称()yfx的图象是下凹/上凸的，函数()yfx为下凹/上凸函数.二阶导数''()0fx1.已知(0,)xe，求证：22222lnln2ln25eexxexx解：原式等价于2ln121(ln1)ln2ln25xeexxx令ln1(0)txt，即证：2214155teettt取eetyt在0t处的切线，有(1)1,0teetett2222[(1)1](1)2(1)1teetetetet当0t时，有22214(1),2(1)55ettett，得证.2.求证：1(1)ln2xxex解：①当1x时用切线放缩1xex1(1)(1)ln(1)(1)(1)(1)2LHSxxxxxxxx②当01x时用割线放缩(1)1xeex11(1)(1)1ln(1)(1)1(1)(1)(1)42eLHSxexxxexxexx练习：(1)ln1xeexxx；12ln1xxeexx；233125ln02xxxxx3.已知,,0abc且1abc，求证：222233131314.abc„解一：利用勾股定理刻画不等式中的几何意义．解二：利用切线和割线构造了函数不等式：22331311.323xxx加和即得证.4.已知,0ab且1ab，求证：22113abab.法一均值不等式22188611113888aaaaaa，218861138bbb，221818668686882111114336638822()ababababab法二切线法如图，利用切线构造函数不等式：212xxx，当12x时取等.22112243abababab，取等条件：12ab.5.已知23()1xfxx，[0,3]x，已知数列na满足03na，*nN，且122010670aaa，则122010fafafa的最大值为______．(6030)构造[0,3]x上的函数不等式：239131103xxx.6.求函数3752yxxxx的值域．解：定义域：3,537xx，52xx为上凸函数，于是373xxx，25252xxx2252375235132222yxxxxxxx当且仅当3x时取等.23752357210xxxxxxxx当且仅当7235xxxx，即297x时取等.于是函数值域为2,10.7.已知,0ab且1ab，求223122409ab的最小值.解：设函数2()312fxx，2()2409gxx212'()12xfxx，236'()409xgxx取这两个函数平行的切线，有22123612409abab，即2240119ba与1ab联立，解得12,33ab22121122312240911411511331111abab…8.已知,0ab，1ab，则223122409ab的最大值是______，最小值是_______．法一割线放缩处理最大值.212(31)1aa，2409(740)40bb等号当,{0,1}ab时取得．于是有2231224093(31)32(740)240abab考虑到3(31)2(740)，于是当,1,0ab时右边取得最大值．因此所求的最大值为33410．切线放缩处理最小值．222212()1212aa，2229409()409409bb等号当(,)(,)ab时取得．令2211229,3233124092222123122409312240951133ab等号当12(,),33ab时取得．因此所求的最小值为511．法二令2222()3122409(1)321291849,01fxxxxxxx9.已知,,abc满足1abc，求414141abc的最值.解：设函数()41fxx，14x，2'()41fxx作出函数()fx的图象，函数()fx的图象在13x处的切线：221121733yx，以及函数()fx的图象过点1,04和1,04的割线：4177yx，如图．于是可得：412211214173377xxx左侧等号当14x或32x时取得；右侧等号当13x时取得．因此原式的最大值为21，当13abc时取得；最小值为7，当14ab，32c时取得．10.已知1122lnlnxxxxa，12xx，求证：22121xxae.解：设函数()lnfxxx，()1ln.fxx取其2xe在和1x处的切线，分别为21:elyx和2:1lyx，如图．直线ya与直线1l，函数()fx的图象和直线2l分别交于1122',,,'xxxx，则有：1122''xxxx222121(1)21xxxxaaeae注1类似的，我们还可以用割线yx和1(1)1yxe来估计21xx的下界，如图．注2我们也可以利用函数图象的外接曲线得到更加精确的界，例如用21(1)12yxx和2yxe，如图．11.设,,abc为非负实数，满足1abc，则222111222abc的取值范围是______．设函数21()2fxx，考虑利用切割线放缩得到辅助不等式：当[0,1]x时，有：21115419622361319xxx且左边不等式等号当0,1x时取得；右边不等式等号当13x时取得．左边不等式为：(1)(2)0xxx，右边不等式为：2(176)(31)0xx，容易得证.所以135427()16236119xfxx222411127322219abc左侧等号当,,1,0,0xyz时可以取得；右侧等号当111(,,),,333xyz时可以取得．因此所求的取值范围是427,319．12.已知0,2x，求证：costan2xxx．解：先证0,,sintan22xxxx于是当0,4x时，有costansintan2xxxxx当,42x时，利用cosyx在4x和2x之间的割线，有22cos2xx利用tanyx在4x处的展开，有2tan12244xxx于是当,42x时，有2222costan212228xxxxx右侧对应的2844280，得证.13.已知,0ab，284ab，则31ab的最小值是_______．根据切割线放缩，有2148(1)33abab，于是433ba进而21331343baba等号当且仅当,1,1ab时取得．因此所求的最小值为4．14.已知1niixn，求12inxiix的最小值．解切线放缩,2(ln42)(1)2xxRxx112(ln42)122innxiiiixxnn当1ix时取到等号，从而得到所求的最小值为2n．注切比雪夫不等式亦可解.例1、23,0,31xfxxx，已知数列na满足03,nanN，且满足122010670aaa，则122010()()()fafafa=6030解析：3)31(f因为，当12201013aaa时，122010()()()fafafa=6030对于函数23()(03)1xfxxx,19()316kf,在13x处的切线方程为即3(11)10yx，则22331(11)(3)()01103xfxxxxx成立，所以当03,nanN时，有3(113)10nnfaa122010()()()fafafa12201031120103()603010aaa例2、已知函数2901xfxaax()()．（1）求fx()在122[,]上的最大值；（2）若直线2yxa为曲线yfx()的切线，求实数a的值；（3）当2a时，设1214122xxx,…,,,，且121414xxx…+++，若不等式1214fxfx+fx…()+()+()恒成立，求实数的最小值．解析：（1）2222229[1(1)2]9(1)()(1)(1)axxaxaxfxaxax，令，解得（负值舍去），由，解得．（ⅰ）当时，由1[,2]2x，得()0fx，在上的最大值为18(2)41fa．（ⅱ）当时，由1[,2]2x，得()0fx，在上的最大值为118()24fa．（ⅲ）当时，在时，，在时，，在上的最大值为．（2）设切点为，则()1,()2.ftftta由，有，化简得，即或，…①由()2ftta，有，…②由①、②解得或．（3）当时，，由（2）的结论直线为曲线的切线，，点在直线上，根据图像分析，曲线()yfx在线下方．下面给出证明：当时，．()0fxaxa122aa144a104a()fx1[,2]24a()fx1[,2]2144a12axa()0fx2axa()0fx()fx1[,2]29=2aafaa（）(,())tft()1ft2229[1]1(1