石墨烯能带结构的

石墨烯能带结构的紧束缚近似计算基本介绍能带理论是固体物理学中的一个重要理论基础部分，对微电子技术的发展起了重要的作用。在能带的计算方法中，紧束缚近似方法的理论形式相对比较简结，解决问题的思路也非常明确，有利于加深对本征方程求解、基矢选择、倒空间以及能带图的理解，是一个重要的知识点。石墨烯2010年的诺贝尔物理学奖授予了两位发现石墨烯的科学家，主要是由于这种材料具有特殊的结构和电学性质，在未来具有巨大的潜在应用前景。自从被发现以来，石墨烯就已成为备受瞩目的国际前沿和研究热点。因此，在这我们将展示固体物理学中的紧束缚近似方法在石墨烯能带结构研究上的应用，这样既加深了对所学知识的理解，同时还展示了所学知识在前沿科学上的应用，进而激发学生学习和探索的积极性石墨烯结构分析石墨烯是由碳六元环组成的二维周期蜂窝状点阵结构，如图所示。每个碳原子都具有四个价电子，并按平面正三角形等距离的和3个碳原子相连，每个碳原子以sp2杂化和周围的3个碳原子形成3个σ键。碳原子的波函数形式为：式中ψ(2s)c、ψ(σ2p)ci分别为2s、δi方向上2p轨道的波函数。在垂直于石墨层的方向上还剩余的一个2pz轨道和一个价电子与近邻原子相互作用形成贯穿于整个石墨层的离域π键。由于位于平面内σ键的3个电子并不参与导电，因此我们在计算石墨烯的能带结构时只考虑位于π键上的那一个电子。石墨烯的每个原胞包含两个不等价的碳原子A和B，它们之间的键长a=1.42Å。如下图所示，取晶格的基矢为：那么对应的石墨烯晶格K空间的倒格子基矢为：由此，可以计算出石墨烯倒空间中第一布里渊区六个顶点的坐标位置，分别为：如下图所示。与晶格相对应，倒空间的每个原胞也包含两个不等价的点，即图所标示的K和K’点。s's在课堂上我们了解到的晶体中电子的波函数为：𝜑kr=1𝑁2𝑒𝑖𝑘∙𝑅𝑚𝑚𝜑𝑖(r-𝑅𝑚)在紧束缚近似下，石墨烯体系的波函数可由原子轨道线在性组合得到，这种组合通常可以表示为：其中c1和c2为组合系数。系统波函数满足薛定谔方程，故将上式代入有：经变换得到如下方程：以上两个式子组成系数c1、c2的线性齐次方程组。根据线性代数理论，要使这个方程组有一组非零的解，则需满足：其中𝐻11=𝜀p𝑧,𝐻22=𝜀p𝑧,𝐻12=𝜀𝑘𝑡.最后推出石墨烯的能量本征值表达式为：式中的正负号分别对应导带和价带，kx和ky是倒格矢k在(x,y)上的分量。根据石墨烯的能量本征值表达式，利用Matlab程序可画出石墨烯的能带结构图，如下图所示。从能带结构图可以发现，石墨烯的能带在E=0的六个点上连续，这六个点就是石墨烯第一布里渊区的六个顶点，这些点亦称为狄拉克点。第二个图就是其中一个狄拉克点附近的能带放大图。将第一布里渊区六个顶点的数值代入石墨烯的能量本征值表达式中，可以计算出这些点处的能量E=0，这也证明了石墨烯的能带相交于石墨烯第一布里渊区的六个顶点处。由于每个碳原子贡献一个π电子，因此石墨烯的价带恰好填满，而导带全空，这样费米面（在课本中定义为k空间占有电子与不占有电子区域的分界面）就刚好处于价带和导带相交的顶点处，由此可知石墨烯是一带隙（价带顶与导带底之间的能量范围）为零的半导体。结论我们在本次展示中介绍了紧束缚近似方法在石墨烯能带结构计算上的详细过程，通过分析可知石墨烯的价带与导带相交于第一布里渊区的六个顶点上，说明石墨烯是一种零带隙的半导体，为石墨烯具有独特的电学性质提供了理论上的解释，同时也为石墨烯性能的进一步研究提供理论基础。此外，本文还展示了现代化数学软件Matlab的作图，将数学公式图形化，可以更好的激发学生学习固体物理理论的兴趣。