数值分析试题及答案汇总

数值分析试题及答案汇总TTAstandardizationoffice【TTA5AB-TTAK08-TTA2C】数值分析试题一、填空题（20×2′）1.32,1223XA设x=是精确值x*=的近似值，则x有2位有效数字。2.若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]=1，f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]=0。3.设，‖A‖∞＝___5____，‖X‖∞＝__3_____，‖AX‖∞≤_15___。4.非线性方程f(x)=0的迭代函数x=(x)在有解区间满足|’(x)|1，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。5.区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到2阶的连续导数。6.当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。7.拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是：niixa0)(1；所以当系数ai(x)满足ai(x)1，计算时不会放大f(xi)的误差。8.要使20的近似值的相对误差小于%，至少要取4位有效数字。9.对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是(B)1。10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5。x012y=f(x)-2-1211.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)||f(xn)|。12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri(i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差ri＝(bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn)/aii，(i=0,1,…,n)。13.在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为f(x0)f”(x0)0。14.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。二、判断题（10×1′）1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。(×)2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。()3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。(×)4、样条插值一种分段插值。()5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。(×)8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。(×)9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。()10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。(×)三、计算题（5×10′）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。解答：（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：L21=1/5=,l31=2/5=方程化为：（,）最大元在第三行，交换第二与第三行：L32==,方程化为：回代得：00010.199999.500005.3321xxx2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。xi012f(xi)1-13f’(xi)15解答：做差商表xiF(xi)F[xi,xi+1]F[++2]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4]011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：雅克比迭代公式：《计算机数学基础(2)》数值分析试题一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x＝…an×10s(a10)的绝对误差x*－x()．65843312431432321421xxxxxxxxxxxx(A)×10s－1－t(B)×10s－t(C)×10s＋1－t(D)×10s＋t2.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为()．(A)2100121001210012，(B)2100141101410125(C)2100141212410125(D)51311412014111243.过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)=()(A)3210320123xxxx(B)32103201232xxxx(C)3210320123xxxx(D)32420123xxxx4.等距二点的求导公式是()(A))(1)()(1)(111kkkkkkyyhxfyyhxf(B))(1)()(1)(111kkkkkkyyhxfyyhxf(C))(1)()(1)(111kkkkkkyyhxfyyhxf(D)5.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是那么yp,yc分别为()．(A)),(),(1kkkckkkpyxhfyyyxhfyy(B)),(),(1pkkckkkpyxhfyyyxhfyy(C)),(),(pkkckkkpyxfyyyxfyy(D)),(),(1pkkckkkpyxhfyyyxhfyy二、填空题(每小题3分，共15分)6.设近似值x1,x2满足(x1)=，(x2)=，那么(x1x2)=．7.三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,…,n，且满足S(x)在每个子区间[xk,xk+1]上是．8.牛顿－科茨求积公式nkkkbaxfAxxf0)(d)(，则nkkA0＝.9.解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．10.解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是预报值：),(1kkkkyxhfyy，校正值：yk+1=．三、计算题(每小题15分，共60分)11.用简单迭代法求线性方程组的X(3)．取初始值(0,0,0)T，计算过程保留4位小数．12.已知函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差f(4，1，3)．13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分312d1xx，计算过程保留4位小数．14.用牛顿法求115的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保留4位小数．四、证明题(本题10分)15.证明求常微分方程初值问题在等距节点a=x0x1…xn=b处的数值解近似值的梯形公式为y(xk+1)yk+1=yk+2h[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)]其中h=xk+1－xk(k=0,1,2,…n－1)《计算机数学基础(2)》数值分析试题答案一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.A2.B3.A4.B5.D二、填空题(每小题3分，共15分)6.x2+x17.3次多项式8.b－a9.(x)r110.yk+)],(),([211kkkkyxfyxfhhf(xk＋1,1ky)．三、计算题(每小题15分，共60分)11.写出迭代格式X(0)=(0,0,0)T.得到X(1)＝，3，3)T得到X(2)=，7，0)T得到X(3)=4，6，6)T.12.计算均差列给出．f(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15f(0,1,3,4,6)=151f(4,1,3)=613.f(x)=21x,h=25.082．分点x0=，x1=，x2=，x3=，x4=，x5=，x6=，x7=，x8=.函数值：f=2，f=8，f=8，f=6，f=1，f=2，f=6，f=2，f=3．))]()()()()()()((27654321xfxfxfxfxfxfxf(9分)=225.0×[2+3+2×8+8+6+1+2+6+2)]=×5+2×3)=114.设x为所求，即求x2－115=0的正根．f(x)=x2－115．因为f(x)=2x，f(x)=2，f(10)f(10)=(100－115)×20，f(11)f(11)=(121－115)×20取x0=11．有迭代公式xk+1=xk－)()(kkxfxf=kkkkkxxxxx2115221152(k=0,1,2,…)x1=112115211＝3x2=3727.10211523727.10＝8x3=8723.10211528723.10＝8x*8四、证明题(本题10分)15.在子区间[xk+1,xk]上，对微分方程两边关于x积分，得y(xk+1)－y(xk)=1d))(,(kkxxxxyxf用求积梯形公式，有y(xk+1)－y(xk)=))](,())(,([211kkkkxyxfxyxfh将y(xk),y(xk+1)用yk,yk+1替代，得到y(xk+1)yk+1=yk+2h[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)](k=0,1,2,…,n－1)数值分析期末试题一、填空题（20102分）（1)设283012251A，则A______13_______。（2)对于方程组34101522121xxxx，Jacobi迭代法的迭代矩阵是JB05.25.20。（3)3*x的相对误差约是*x的相对误差的31倍。（4）求方程)(xfx根的牛顿迭代公式是)('1)(1nnnnnxfxfxxx。（5）设1)(3xxxf，则差商]3,2,1,0[f1。（6）设nn矩阵G的特征值是n,,,21，则矩阵G的谱半径)(Gini1max。（7）已知1021A，则条件数)(ACond9（8）为了提高数值计算精度，当正数x充分大时,应将)1ln(2xx改写为)1ln(2xx。（9）n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1n次。（10）拟合三点))(,(11xfx，))(,(22xfx，))(,(33xfx的水平直线是)(3131iixfy。二、（10分）证明：方程组12112321321321xxxxxxxxx使用Jacobi迭代法求解不收敛性。证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为JB的特征多项式为JB的特征值为01，i25.12，i25.13，故25.1)(JB＞1，因而迭代法不收敛性。三、（10分）定义内积试在xSpanH,11中寻求对于xxf)(的最佳平方逼近元素)(xp。解：1)(0x，xx