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1数值分析模拟试卷1一、填空(共30分,每空3分)1设1511A,则A的谱半径)(a______,A的条件数=________.2设,2,1,0,,53)(2kkhxxxfk,则],,[21nnnxxxf=________,],,[321nnnnxxxxf,=________.3设21,1210,)(2323xcxbxxxxxxS,是以0,1,2为节点的三次样条函数,则b=________,c=________.4设0)]([kkxq是区间[0,1]上权函数为xx)(的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0xq,则10)(dxxxqk________,)(2xq________.5设11001aaaaA,当a________时,必有分解式,其中L为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(iLii满足条件________时,这种分解是唯一的.二、(14分)设49,1,41,)(21023xxxxxf,(1)试求)(xf在]49,41[上的三次Hermite插值多项式)(xH使满足2,1,0),()(ixfxHii,)()(11xfxH.(2)写出余项)()()(xHxfxR的表达式.三、(14分)设有解方程0cos2312xx的迭代公式为nnxxcos3241,(1)证明Rx0均有xxnxlim(x为方程的根);(2)取40x,用此迭代法求方程根的近似值,误差不超过,列出各次迭代值;(3)此迭代的收敛阶是多少?证明你的结论.四、(16分)试确定常数A,B,C和,使得数值积分公式有尽可能高的代数精度.试问所得的数值积分公式代数精度是多少?它是否为Gauss型的?2五、(15分)设有常微分方程的初值问题00)(),(yxyyxfy,试用Taylor展开原理构造形如)()(11011nnnnnffhyyy的方法,使其具有二阶精度,并推导其局部截断误差主项.六、(15分)已知方程组bAx=,其中21,13.021bA,(1)试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性.(2)若有迭代公式)()()()1(bAxaxxkkk,试确定一个的取值范围,在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛.七、(8分)方程组,其中,A是对称的且非奇异.设A有误差,则原方程组变化为,其中为解的误差向量,试证明.其中1和2分别为A的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟试卷2填空题(每空2分,共30分)1.近似数231.0x关于真值229.0x有____________位有效数字;2.设)(xf可微,求方程)(xfx根的牛顿迭代格式是_______________________________________________;3.对1)(3xxxf,差商]3,2,1,0[f_________________;]4,3,2,1,0[f________;4.已知1223,)3,2(Ax,则||||Ax________________,)(1ACond______________________;5.用二分法求方程01)(3xxxf在区间[0,1]内的根,进行一步后根所在区间为_________,进行二步后根所在区间为_________________;6.求解线性方程组04511532121xxxx的高斯—赛德尔迭代格式为3_______________________________________;该迭代格式迭代矩阵的谱半径)(G_______________;7.为使两点数值求积公式:111100)()()(xfxfdxxf具有最高的代数精确度,其求积节点应为0x_____,1x_____,10__________.8.求积公式)]2()1([23)(30ffdxxf是否是插值型的__________,其代数精度为___________。二、(12分)(1)设LUA,其中L为下三角阵,U为单位上三角阵。已知2100121001210012A,求L,U。(2)设A为66矩阵,将A进行三角分解:LUA,L为单位下三角阵,U为上三角阵,试写出L中的元素65l和U中的元素56u的计算公式。三、(12分)设函数)(xf在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式)(xH,满足3)1()1(,1)2()2(,1)1()1(,0)0()0(fHfHfHfH,并写出插值余项。(12分)线性方程组22112122bxxbxx(1)请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式,并讨论收敛性。(2)设2,给定松弛因子21,请写出解此方程组的SOR方法的迭代格式,并讨论收敛性。五、(7分)改写方程042xx为2ln/)4ln(xx的形式,问能否用迭代法求所给方程在[1,2]内的实根?六、(7分)证明解方程0)(23ax求3a的牛顿迭代法仅为线性收敛。七、(12分)已知.43,21,41210xxx(1)推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式;(2)指明求积公式具有的代数精度;4(3)用所求公式计算102dxx。八、(8分)若inxxxxxxxxf),())(()(10互异,求],,,[10pxxxf的值,这里.1np数值分析模拟试卷3一、填空题(每空3分,共30分)1.设1234)(248xxxxf,则差商]2,,2,2[810f;2.在用松弛法(SOR)解线性方程组bAx时,若松弛因子满足1|1|,则迭代法;3.设,0)(,0)(**xfxf要使求*x的Newton迭代法至少三阶收敛,)(xf需要满足;4.设)133)(2()(23xxxxxf,用Newton迭代法求21x具有二阶收敛的迭代格式为________________;求12x具有二阶收敛的迭代格式为___________________;5.已知1327A,则)(A__________,)(ACond______6.若1x,改变计算式1lglg2xx=___________________,使计算结果更为精确;7.过节点)3,2,1,0(,3ixxii的插值多项式为_____________;8.利用抛物(Simpson)公式求212dxx=。二、(14分)已知方阵123111122A,(1)证明:A不能被分解成一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积;(2)给出A的选主元的Doolittle分解,并求出排列阵;(3)用上述分解求解方程组bAx,其中Tb)4,2,5.3(。三、(12分)设函数)(xf在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式)(xH,满足40)1()1(,10)1()1(,1)1()1(,0)0()0(fHfHfHfH,5并写出插值余项。四、(10分)证明对任意的初值0x,迭代格式nnxxcos1均收敛于方程xxcos的根,且具有线性收敛速度。五、(12分)在区间[-1,1]上给定函数14)(3xxf,求其在},,1{2xxSpan中关于权函数1)(x的最佳平方逼近多项式。(可用数据:2123)(,)(,1)(2210xxpxxpxp)六、(12分)(1)试导出切比雪夫(Chebyshev)正交多项式])1,1[,,2,1,0)(arccoscos()(xnxnxTn的三项递推关系式:),2,1()()(2)(,)(,1)(1110nxTxxTxTxxTxTnnn(2)用高斯—切比雪夫求积公式计算积分dxxxxI202)2(1,问当节点数n取何值时,能得到积分的精确值?并计算它。七、(10分)验证对))1(,)1((),(),()(2,13121311hKtyhtxfKthKythxfKyxfKKKhyytnnnnnnnn为2阶格式.参考答案1一、1.6)(a,)(1Acond=6.2.],,[21nnnxxxf=3,],,[321nnnnxxxxf,=0.3.b=-2,c=3.4.0,00,21kk;10356)(22xxxq.65.)3,2,1(0);21,21(ilaii二、(1)25145023345026322514)(23xxxxH(2)).49,41(),49()1)(41(169!41)(225xxxxR三、(1)32L;(2)347.3x;(3)线性收敛.四、512,916,910BCA;求积公式具有5次代数精度,是Gauss型的.五、41472110=-,=,=;截断误差主项为)(833nxyh.六、(1),16.0)(,6.0)(GSJBB因此两种迭代法均收敛.(2)当06.011a时,该迭代公式收敛.参考答案2一、1.22.),1,0()()(1nxfxfxxnnnn3.1,04.7,7255.)43,21(),1,21(6.121,2013531)1(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx7.32,3210xx;18.是,17二、(1)1000431000321000211,4510003410002310002UL(2))(;)(4654356532652165155565545643563256215616565ululululauuululululal三、)2()1(!4)()(),2)(1(2)(2)4(xxxfxRxxxxxH四、(1))1(12)1(2)(21)1(12kkkkxbxxbx,1时收敛(2))1(1)(22)1(2)(2)(11)1(1214212kkkkkkxxbxxxbx,收敛五、收敛七、(1))43(32)21(31)41(32fff(2)2(3)31八、110时为时为n,pnp参考答案3一、1.42.发散3.0)(*xf84.),1,0()()(1nxfxfxxnnnn,),1,0()()(31nxfxfxxnnnn5.2608,496.1lg2xx7.3x8.37二、(2)先交换2、3两行,交换1、2两行,010001100,5.0003333.06667.00123,15.03333.0016667.0001PUL(3))5.4,1,5.1(三、3)4(2)1(!4)()(,)1(9)1(11)(xxfxRxxxxxxH五、10512pp六、1n,2
本文标题:北航2010-2011年研究生数值分析期末模拟试卷1-3
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