北航2010-2011年研究生数值分析期末模拟试卷1-3

1数值分析模拟试卷1一、填空（共30分，每空3分）1设1511A，则A的谱半径)(a______，A的条件数=________.2设,2,1,0,,53)(2kkhxxxfk，则],,[21nnnxxxf＝________,],,[321nnnnxxxxf，＝________.3设21,1210,)(2323xcxbxxxxxxS，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.4设0)]([kkxq是区间［0，1］上权函数为xx)(的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0xq，则10)(dxxxqk________，)(2xq________.5设11001aaaaA，当a________时，必有分解式，其中L为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(iLii满足条件________时，这种分解是唯一的.二、（14分）设49,1,41,)(21023xxxxxf,（1）试求)(xf在]49,41[上的三次Hermite插值多项式)(xH使满足2,1,0),()(ixfxHii，)()(11xfxH.（2）写出余项)()()(xHxfxR的表达式.三、（14分）设有解方程0cos2312xx的迭代公式为nnxxcos3241，（1）证明Rx0均有xxnxlim（x为方程的根）；（2）取40x，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.四、(16分)试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度.试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？2五、（15分）设有常微分方程的初值问题00)(),(yxyyxfy，试用Taylor展开原理构造形如)()(11011nnnnnffhyyy的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分）已知方程组bAx＝，其中21,13.021bA，（1）试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性.（2）若有迭代公式)()()()1(bAxaxxkkk，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛.七、（8分）方程组，其中，A是对称的且非奇异.设A有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明.其中1和2分别为A的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟试卷2填空题（每空2分，共30分）1.近似数231.0x关于真值229.0x有____________位有效数字；2.设)(xf可微，求方程)(xfx根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；3.对1)(3xxxf，差商]3,2,1,0[f_________________；]4,3,2,1,0[f________；4.已知1223,)3,2(Ax，则||||Ax________________，)(1ACond______________________；5.用二分法求方程01)(3xxxf在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________；6.求解线性方程组04511532121xxxx的高斯—赛德尔迭代格式为3_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径)(G_______________；7.为使两点数值求积公式：111100)()()(xfxfdxxf具有最高的代数精确度，其求积节点应为0x_____,1x_____,10__________.8.求积公式)]2()1([23)(30ffdxxf是否是插值型的__________，其代数精度为___________。二、（12分）(1)设LUA，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。已知2100121001210012A，求L，U。(2)设A为66矩阵，将A进行三角分解：LUA，L为单位下三角阵，U为上三角阵，试写出L中的元素65l和U中的元素56u的计算公式。三、（12分）设函数)(xf在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式)(xH，满足3)1()1(,1)2()2(,1)1()1(,0)0()0(fHfHfHfH，并写出插值余项。（12分）线性方程组22112122bxxbxx（1）请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。（2）设2，给定松弛因子21，请写出解此方程组的SOR方法的迭代格式，并讨论收敛性。五、（7分）改写方程042xx为2ln/)4ln(xx的形式，问能否用迭代法求所给方程在[1,2]内的实根？六、（7分）证明解方程0)(23ax求3a的牛顿迭代法仅为线性收敛。七、（12分）已知.43,21,41210xxx（1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；（2）指明求积公式具有的代数精度；4（3）用所求公式计算102dxx。八、（8分）若inxxxxxxxxf),())(()(10互异，求],,,[10pxxxf的值，这里.1np数值分析模拟试卷3一、填空题（每空3分，共30分）1．设1234)(248xxxxf，则差商]2,,2,2[810f；2．在用松弛法(SOR)解线性方程组bAx时，若松弛因子满足1|1|，则迭代法；3．设,0)(,0)(**xfxf要使求*x的Newton迭代法至少三阶收敛，)(xf需要满足；4.设)133)(2()(23xxxxxf,用Newton迭代法求21x具有二阶收敛的迭代格式为________________；求12x具有二阶收敛的迭代格式为___________________；5．已知1327A，则)(A__________,)(ACond______6.若1x，改变计算式1lglg2xx=___________________，使计算结果更为精确；7．过节点)3,2,1,0(,3ixxii的插值多项式为_____________；8.利用抛物(Simpson)公式求212dxx=。二、（14分）已知方阵123111122A，(1)证明：A不能被分解成一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积；(2)给出A的选主元的Doolittle分解，并求出排列阵；(3)用上述分解求解方程组bAx，其中Tb)4,2,5.3(。三、（12分）设函数)(xf在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式)(xH，满足40)1()1(,10)1()1(,1)1()1(,0)0()0(fHfHfHfH，5并写出插值余项。四、（10分）证明对任意的初值0x，迭代格式nnxxcos1均收敛于方程xxcos的根，且具有线性收敛速度。五、（12分）在区间[-1,1]上给定函数14)(3xxf，求其在},,1{2xxSpan中关于权函数1)(x的最佳平方逼近多项式。（可用数据：2123)(,)(,1)(2210xxpxxpxp）六、(12分)(1)试导出切比雪夫(Chebyshev)正交多项式])1,1[,,2,1,0)(arccoscos()(xnxnxTn的三项递推关系式：),2,1()()(2)(,)(,1)(1110nxTxxTxTxxTxTnnn（2）用高斯—切比雪夫求积公式计算积分dxxxxI202)2(1，问当节点数n取何值时，能得到积分的精确值？并计算它。七、（10分）验证对))1(,)1((),(),()(2,13121311hKtyhtxfKthKythxfKyxfKKKhyytnnnnnnnn为2阶格式.参考答案1一、1．6)(a，)(1Acond=6.2．],,[21nnnxxxf=3，],,[321nnnnxxxxf，=0.3．b=－2，c=3.4．0,00,21kk；10356)(22xxxq.65．)3,2,1(0);21,21(ilaii二、(1)25145023345026322514)(23xxxxH(2)).49,41(),49()1)(41(169!41)(225xxxxR三、（1）32L;（2）347.3x;（3）线性收敛.四、512,916,910BCA;求积公式具有5次代数精度，是Gauss型的.五、41472110＝－，＝，＝；截断误差主项为)(833nxyh.六、（1）,16.0)(,6.0)(GSJBB因此两种迭代法均收敛.（2）当06.011a时，该迭代公式收敛.参考答案2一、1．22．),1,0()()(1nxfxfxxnnnn3．1,04．7,7255．)43,21(),1,21(6.121,2013531)1(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx7.32,3210xx;18.是,17二、(1)1000431000321000211,4510003410002310002UL(2))(;)(4654356532652165155565545643563256215616565ululululauuululululal三、)2()1(!4)()(),2)(1(2)(2)4(xxxfxRxxxxxH四、(1))1(12)1(2)(21)1(12kkkkxbxxbx,1时收敛(2))1(1)(22)1(2)(2)(11)1(1214212kkkkkkxxbxxxbx,收敛五、收敛七、（1）)43(32)21(31)41(32fff（2）2(3)31八、110时为时为n，pnp参考答案3一、1．42．发散3．0)(*xf84．),1,0()()(1nxfxfxxnnnn,),1,0()()(31nxfxfxxnnnn5．2608,496.1lg2xx7.3x8.37二、(2)先交换2、3两行，交换1、2两行，010001100,5.0003333.06667.00123,15.03333.0016667.0001PUL(3))5.4,1,5.1(三、3)4(2)1(!4)()(,)1(9)1(11)(xxfxRxxxxxxH五、10512pp六、1n，2