一起学奥数——圆的周长和面积(六年级)

风子编辑圆的周长和面积六年级第一课基础部分例1、如下图，一个半径为8的轮子沿着一个半圆的直径滚动直到它撞到半圆上（半圆的半径为25）。问轮子不能接触到的直径有多长？【分析】先根据题目，来画出小圆在半圆中的运动轨迹由图可以看出，黄色部分是圆扫过的部分。在半圆的直径上用红线标注出没有被黄色扫到的部分根据图形的对称性，我们可以知道两端红色的部分长度相等在小圆扫过的黄色区域中，截取如图长方形。并连接小圆圆心与小圆半圆的切点OO1AB由图可得，OO1=25-8=17，AO1=8。则根据勾股定理：OA=172−82=15所以，轮子接触不到的部分长度为2×（25-15）=20例2、如图，已知AB=40厘米，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成（两种小圆弧的直径相等，且等于中圆弧的半径，中圆弧的直径等于大圆弧的半径），那么绿色部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）AB【分析】因为AB=40cm，所以中圆的半径为10cm，小圆的半径为5cm图中的粉红小圆与绿色小圆，我们可以通过换位，使图案变得容易计算显然，绿色部分的面积是大圆面积减去4个中半圆面积。202π-2×102π=200×3.14=628cm2例3、如图，在直径为12厘米的大半圆纸片上剪掉两个完全相同的小半圆，再在剩下图形中剪掉一个最大的小圆。剩下图形的面积是多少平方厘米？（π取3.14）r【分析】连接小圆与两小半圆的圆心，及大半圆与小圆圆心并延长，如图所示设大半圆半径2R=12÷2=6cm，小半圆半径为R=3cm，小圆半径为r根据勾股定理：（R+r）2=（2R-r）2+R2即：(6-r)2+32=(r+3)2，∴r=2cm由图形可知，黄色部分的面积为大半圆面积减去小圆与两个小半圆面积，即12×62π-12×2×32π-22π=5×3.14=15.7cm2例4、如图，一个半径为10CM的圆沿图中“凸”字形的内壁滚动“凸”字形的一圈又回到原地。圆扫过的面积是多少平方厘米？（图中单位：厘米，π取3.14）6060401604040【分析】圆的半径为10cm，“凸”字形上下两部分都是宽为40的长方形。模拟小球在凸字形内壁滚动所扫过的面积，我们可以发现，只要研究各个角上的图形即可。我们通过割补，可以发现，六个角上的圆，可以组成如图b的6个相同的图形。而中间转交处的处理要注意，可以看作是图c图a图b所以，没被扫过部分为6个图b及1个图c，则圆扫过的面积为：图c（40×160+40×40）-6×14×（202−102π）-（20×40-2×202π4）=7699例5、将四个圆如图方式安排，已知圆A的半径为12CM、圆B的半径为10CM、圆C的半径为8CM、圆D的半径为6CM。请问圆中涂黄色部分的面积总和与涂蓝色部分的面积总和的差为多少平方厘米？（π取22/7）abc【分析】我们先算出四个圆的面积，如下SA=122π=144πSB=102π=100πSC=82π=64πSD=102π=36π接着用字母来表示黄色和蓝色部分的面积：S黄=SA+SC–a–b–cS蓝=SB+SD–a–b–c∴S黄–S蓝=（SA+SC）–（SB+SD）=（144π+64π）-（100π+36π）=72π=15847例6、如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，𝐴𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐵，M是𝐶𝐷的中点，H是弦CD的中点。若N是OB上的一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？MCDHONAB【分析】先对题目的条件进行翻译。𝐴𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐵，表示把半圆分成三等分。并且，CD∥AB。M是𝐶𝐷的中点，表示把三分之一半圆分成相等的两部分阴影部分由两个图形组成的不规则图形，因此，我们需要通过等积变换，或者割补法，把阴影部分转化为规则图形。连接OC与OH因为CD∥AB，所以△CHO与△CHN的面积相等。则原阴影部分面积与扇形COM的面积相等。即：S阴影=16S半圆=16×12=2平方厘米第二课提高部分见几何专题课堂练习练习1：如图1，用粗绳围上面的一个半圆，用细线围下面的三个半圆。请问粗绳与细线长度之差为多少厘米？2.510.5图1练习2：如图2，图中有半径分别为5cm，4cm，3cm的三个圆，两小圆重叠部分A的面积与阴影部分的面积相比，哪个大？图2A练习3：如图3，试求阴影部分与大圆的面积之比和周长之比。答案：根据周长公式。粗绳与细线一样长【分析】先算出大中小三个圆的面积。S大-S中-S小=S阴-SA=0cv图3【分析】（割补法）求面积之比，把阴影部分分成3或2部分。周长之比，把阴影部分分成3部分。答案：面积之比14，周长之比34练习4：如图1，有一张半径为2的圆形纸片在一个足够大的正方形内任意移动，求在该正方形内，这张圆形纸片不可能接触到的部分的面积是多少？（π取3.14）图1练习5：如图2，AB为圆O的直径，点D在圆O上。在梯形ABCD中，①线段AB与线段DC都分别垂直于BC；②AB=2CD.弧DMB是以点C为圆心的圆弧。请问图中阴影部分的面积与圆O的面积之比是多少？（π取22/7）练习6：如图3，阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积。图3答案：3.44BCDAOM图2【分析】OBCD是一个正方形。答案：1344答案：50π