函数概念学习困难成因分析

函数概念学习困难成因分析1、函数概念本身的原因（1）函数概念的复杂性和辩证性函数概念结构本身是一个复杂的体系，函数概念的本质属性较少，非本质属性比较多，这就加大了对函数本质属性理解的难度。函数概念包含很多子概念：变量(自变量、因变量)、非空数集、定义域、对应、对应法则、值域等[39]。其中，“变量”是一个不定义概念，初中教材中从日常生活出发给出的“变量”概念和数学中“变量”的科学概念是不同的。数学中“变量”的概念包括常量这种特殊的变量，它是一个辩证概念。调查中发现高一学生对函数概念的理解多种多样，对变量的理解存在误区，仍然以头脑中日常生活中“变量”的概念为标准来判断函数，从而出现函数概念理解上的错误。函数概念具有高度的抽象性和很强的概括性，它深刻反映了概念范畴内事物的本质属性，有着非常广泛的外延，仅高一阶段数学学习的函数就有指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等多种类型，不易掌握。不仅如此，函数概念还与方程、代数式、不等式等知识有着非常密切的联系，其中所蕴含的思想方法有广泛的应用，具有很强的灵活性，不容易把握。（2）函数表示形式的多样性函数有七种主要的表示形式：解析式；图像式；表格式；集合箭图式；序偶式；集合箭图式；通俗语言式。这七种形式各自又有很多变式，高一学生不仅要理解各种表示，能够灵活的转换各种表示，有时还需要选择合适的表示方法来表示特定的函数，这也会导致函数概念学习困难的产生。另外，在学习函数概念之前，学生只需要单独的对数或形进行研究，数与形的学习基本上是分开进行的，而函数的学习经常要涉及到数与形的结合，要求学生能够在解析式与图象之间灵活转换，建立起适当的联系。调查结果表明，大部分高一学生对函数解析式表示比较熟悉，而对函数概念的图像、表格等表示方法还不太习惯，所以能否正确地使用函数的不同表示形式，协调好各种表示形式之间的关系，并灵活地对不同表示形式间进行转换，直接影响着函数概念的学习，可以作为考察函数概念形成水平的重要依据。（3）函数符号的抽象性函数符号yfx是高一学生学习函数概念的难点，它具有高度的抽象性。它既可以表示一种广义的对应关系，也可以表示某一个特定的对应关系，也就是说，函数符号yfx中每一个字母都具有广义性和特定性。比如字母“f”，它不仅可以代表任意一个函数，同时它也可以代表一个确定的函数。学生如果没有真正理解什么是函数，仅从字面上是不容易看出的。符号“f”具有隐蔽性，要想真正的理解符号“f”的含义，就需要有足够的具体内容的经验基础作为支撑，否则学生不能仅仅通过符号“f”来想象出对应法则的具体内容，即使“f”所表示的对应法则是确定的，也不能通过x(或y)来想象定义域、值域到底是什么，总之，对函数符号的学习要比学习“∥、⊥”等符号付出更多的思维操作；符号“f”具有的“隐蔽性”和“抽象性”很大程度上增加了函数概念学习的难度[8]。在函数概念的学习中，很多高一学生只是从形式上掌握函数符号而实际上不理解函数符号的本质涵义，这种情况是很常见的，这时符号将会对知识的学习产生影响，使学生产生学习困难，从而导致发生数学推理错误。例如，由于对函数的一般表达式yfx中x,y,f的意义不理解，经常会出现认为f和x是相乘的关系，或者出现认为1212fxxfxfx类似的错误。2、学生方面的原因（1）高一学生原有的认知结构知识的学习过程是以文字或其它符号表征的意义同学生已有认知结构中的相关观念相联系并产生相互作用以后，转化为个体意义的过程[40]。不同学生对同样的知识的理解深度和广度是由学生原有的认知结构决定。学生在学习一个新概念前，如果对与这个新概念有关的一些原有概念的认识比较匮乏，就不利于学生对新概念的掌握。高一学生在学习函数概念时，往往从他原有的认知即初中函数概念以及一些具体函数出发，去认识、理解高中函数概念。教师在教学过程中应关注学生是否具有足够的相关观念，对于学过但可能遗忘的要及时复习，没有的要及时进行补充。值得强调的是，教师应该重视让学生区分日常概念和科学概念。例如函数概念中的“变量”，初中所学的“变量”概念是从日常概念的角度给出的，而高中所学的“变量”概念是辩证的，是数学中的科学概念，教师应对此进行强调，避免高一学生利用原有认知结构中的日常概念来理解新概念，从而导致错误的产生。（2）高一学生的思维发展水平函数概念是一个发展变化的辩证概念，并且与其他概念有着密切的联系。高中阶段的函数概念是对初中阶段函数概念的发展，它经过再度抽象，失去了初中阶段从运动变化角度给出的函数概念的相对直观性，表现为集合之间的对应关系。函数概念的学习要把定义域、对应关系、值域凝聚在一起，作为一个整体对象进行研究。像这种从具体、整体的角度来认识事物，把动态的过程看作为静态的对象，能够在离散与连续、静止与运动之间进行灵活的转化，就必须要实现从局限的抽象逻辑思维向辨证思维的转变。整个中学阶段，学生的思维能力发展迅速，但初中生和高中生的思维能力是有差别的。初中阶段，学生的抽象逻辑思维逐渐发展起来，并且占据优势地位。但是，初中生的抽象逻辑思维常常需要感性经验的支持，包含较多的具体形象的成分。到了高中阶段，学生的抽象逻辑思维能力进一步提高，由经验型逐渐转变为理论型，并且开始形成辩证逻辑思维。辨证思维作为人类思维发展的最高形态，要想得到充分发展还需要很长的一段时期。因此高中生基本上处于辨证思维形成和发展的早期阶段[8]。高一学生的思维水平基本上停留在抽象逻辑思维的阶段，辨证思维的发展很不成熟，认识事物还处于静止、分割、局部、抽象的状态，而函数概念的特点却是运动、联系、变化的。这就直接影响着高一学生的函数概念学习，导致学生函数概念学习困难的产生。也正因为如此，通过函数概念的学习可以促进高一学生的思维实现由抽象逻辑思维向辩证逻辑思维的转变，使学生的思维水平产生质的飞跃，这是其它数学内容无法替代的。（3）非认知因素的影响学生的学习兴趣影响着数学知识的学习，学习应当成为学生自己的积极主动的活动，而这需要学生对学习任务的持续兴趣作为保障。其实学生在刚入学时，他们的上进心，学习积极性都较高，但在遇到数学学习困难后，缺乏克服困难的坚强意志和学习毅力，往往产生畏难情绪、失去学习信心。不仅如此，由于学生刚进入高一，对高中阶段的学习存在一个适应期，在学习数学时没能形成独特的适合于自己的学习方式，养成许多不良的学习习惯，例如：机械地学习，死记硬背、忽略理解、生搬硬套，不关注概念的形成过程，只注重表象，不追求深化理解；在解决问题时不主动思考，过分依赖课本、答案、老师；并且在学习新知识后复习不及时，不注意对知识的归纳总结，把知识系统化等等，都会导致学生函数概念学习困难。3、教师方面的原因我国的新课程改革不仅在课程内容上作了合理的调整，而且强调教学方法的改革，教师作为课堂教学的组织者、实施者应该起到主导作用；学生是学习的主体；教学要按照学生的学习规律和特点，从学生的实际出发，调动学生学习的主动性，使他们积极地参与教学活动[41]。但是在函数概念的实际教学过程中，仍然有许多教师采用传统的讲练结合的教学方式，忽视学生的认知水平和知识的发生、发展过程，导致课堂教学气氛沉闷，影响对概念的理解和掌握。例如，教师在函数概念教学中不注意概念的引入，往往不是通过创设一定的情境、运用合适的教学手段和教学组织形式，让学生体会函数概念的背景，体会其中蕴含的共同特征，感受函数是刻画现实世界运动变化的重要数学模型，而是“一个定义、三项注意”，把函数概念生硬的推到学生面前[42]。由于教师没能以高一学生原有认知结构为基础，忽略概念的形成过程，导致新概念不能很好地纳入学生已有的认知结构中，系统性差，只是机械的记忆概念，不能对概念达到真正理解与掌握。除此之外，教师在教学过程中过分强调对函数概念细枝末节的讲解导致学生机械的记忆，不求深入地理解概念，注重练习一些技巧性很强的求解函数定义域、值域的偏题、怪题，导致学生对概念缺乏从感性到理性的认识，脱离了函数概念的本质，难以形成数学能力。在学生形成函数概念后就要通过概念运用来巩固概念，但是调查结果表明，高一学生的函数概念应用水平较低，这很大程度上是教师的教学方式导致的。教师经常采取题海战术来巩固概念，这样做不仅达不到好的效果，还容易引起学生的厌学情绪。教师应该从学生的实际水平出发，联系生活实际，选取一些含金量较高的题目，来达到培养学生的应用意识和解决实际问题能力的目的。高一学生在学习函数概念后，还将学习一些基本函数，例如指数函数、对数函数、幂函数，这是促进学生函数概念理解的最佳时机。但是很多教师在后续的学习过程中，只是将各个知识点作为单独的个体零散的讲授给学生，对知识间的联系强调不够，学生看不到它们之间的内在联系，体会不到蕴含在知识间的函数思想，不能更深刻的认识和理解函数概念。