线性递推数列的特征方程

具有形如21nnnxaxbx①的递推公式的数列nx叫做线性递推数列将①式两边同时加上1nyx，即：2111nnnnnxyxaxbxyx整理得：211()()nnnnbxyxayxxya令1nnnFxyx为等比数列，则其公比qay且满足byya即满足：2yayb②设②式具有两个不相等的实数根r，s，则：1nnnYxrx③1nnnZxsx④分别是公比为ar，as的等比数列，并得：121()()nnYxrxar121()()nnZxsxas且由③、④可得：()nnnYZsrx又由韦达定理可得：rsarsb于是有：11212111212111212212122121()()()()()()nnnnnnnnnnnnnYZxrxarxsxasxsrsrxrxxxrxxsxsrsbrbCsxarassrsrxrxxsxsrsbsbrrrCs⑤由以上推导可知，线性递推数列的通项公式⑤只与数列的第一、二项和方程2yayb的两根有关。也就是说，只需知道1x，2x和方程2yayb的两根r，s，即可得出线性递推数列的通项公式。可见方程2yayb包含了线性递推数列的重要信息，故将之称为线性递推数列的特征方程。例：（斐波拉契数列）已知数列nx满足：121xx且21(1,)nnnxxxnnN.求数列nx的通项公式。解：该数列属于线性递推数列，其特征方程为：21xx解之得：152r，152s故可设数列的通项公式为12151522nnnxCC又1121515122xCC，222121515122xCC解得：155C，255C.故所求通项公式为：51515522nnnx.