大学物理---力矩-转动定律-转动惯量

第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量Pz*OFdFrMsinMFrd:力臂d刚体绕Oz轴旋转,力作用在刚体上点P,且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的径矢.FrFrM对转轴Z的力矩F0,0iiMF0,0iiMFFFFF一力矩(Torque)M第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量zOkFr讨论FFFzFrkMzsinrFMzzFF1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量F2）合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩zFF第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量Ormz二转动定律(LawofRotationofaRigidBodyaboutaFixedAxis)FtFnFsinrFMmrmaFFttsin2iejjjjrmMM2）刚体质量元受外力，内力jFejFiM1）单个质点与转轴刚性连接m外力矩内力矩2tmrrFMOzjmjrjFejFi第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.αrmMMjjjjjj2ie0jijjiijMMM)αrmMjjjj2e(转动定律JM2jjjrmJ定义转动惯量(MomentofInertia)mrJd2OzjmjrjFejFi第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量mrJrmJjjjd,22三转动惯量物理意义：转动惯性的量度.质量离散分布刚体的转动惯量2222112rmrmrmJjjj转动惯性的计算方法质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd22：质量元mdJM第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量1、转动惯量的大小取决于刚体的质量及其分布、形状及转轴的位置.注意2、转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。地位等同于质点力学中质点的质量。3、转动惯量的单位是，量纲是ML22mkg第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量lO´O解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´为处的质量元rrmddlrrJ02drd32/2/2121dlrrJll231mlrrrmrJddd22例1一质量为、长为的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.mlrd2l2lO´O2121ml如转轴过端点垂直于棒第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量OROR403π2dπ2RrrJRrdr例2一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量.mR解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环rrd2(π)mR而rrmdπ2d圆环质量221mRJ所以rrmrJdπ2dd32圆环对轴的转动惯量第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量例3质量为的物体A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为的物体B上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B从BmCm静止落下距离时，其速率是多少？（若水平面不光滑又如何？）yAmABCAmBmCm第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBm21,2caRJmRamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2解（1）隔离物体分别对物体A、B及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定律列方程.T2FT1FCPCF第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量例4一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.lm解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得NFJmglsin21第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量式中231mlJddddddddtt得sin23lg由角加速度的定义dsin23dlg代入初始条件积分得)cos1(3lgJmglsin21第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量补充：证明球体对任意直径的转动惯量为：225ImR证明：如图所示，在坐标z处取高为dz的小圆柱作为质元23,43mdmrdzR222232423()4331()45RRRRmJzdmzRzdzRzzmdzmRRRdzzRroz第四章刚体的转动4–2力矩转动定律转动惯量证明：将均质球体分割成一系列彼此平行且都与对称轴垂直得圆盘，则有2222222212121282155RRJdmrrdzr(Rz)dzRmR即225JmRRzordzzm