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直线与双曲线的位置关系1.直线与双曲线的位置关系一般地,设直线l:y=kx+m(m≠0)①双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.(1)当b2-a2k2=0,即k=±ba时,直线l与双曲线的渐近线______,直线与双曲线C相交于________.(2)当b2-a2k2≠0,即k≠±ba时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).平行一点Δ0⇒直线与双曲线有______公共点,此时称直线与双曲线_______;Δ=0⇒直线与双曲线有_____公共点,此时称直线与双曲线______;Δ0⇒直线与双曲线______公共点,此时称直线与双曲线_______.两个相交一个相切没有相离2.弦长公式斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2________=1+k2x1+x22-4x1x2=1+1k2|y1-y2|=1+1k2y1+y22-4y1y2.|x1-x2|命题方向直线与双曲线位置关系[例1]已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),在下列条件下,求实数k的取值范围.(1)直线l与双曲线有两个公共点;(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;(3)直线l与双曲线没有公共点.[分析]要研究直线与双曲线的交点个数,通常需联立直线与双曲线方程组成方程组,对方程解的个数进行讨论.[解析]x2-y2=4y=kx-1,消去y得,(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0(*)(1)当1-k2=0,即k=±1时,直线l与双曲线渐近线平行,方程化为2x=5,故此方程(*)只有一个实数解,即直线与双曲线相交,且只有一个公共点.(2)当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).①4-3k201-k2≠0,即-233k233,且k≠±1时,方程(*)有两个不同的实数解,即直线与双曲线有两个公共点.②4-3k2=01-k2≠0,即k=±233时,方程(*)有两个相同的实数解,即直线与双曲线有且仅有一个公共点.③4-3k201-k2≠0,即k-233,或k233时,方程(*)无实数解,即直线与双曲线无公共点.综上所述,当-233k-1,或-1k1,或1k233时,直线与双曲线有两个公共点;当k=±1,或k=±233时,直线与双曲线有且只有一个公共点;当k-233,或k233时,直线与双曲线没有公共点.过双曲线x2-y23=1的左焦点F1,作倾斜角为π6的直线l与双曲线的交点为A、B,则|AB|=________.[答案]3[解析]双曲线焦点坐标为F1(-2,0)、F2(2,0),直线AB的方程为y=33(x+2),把该直线方程代入双曲线方程得,8x2-4x-13=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=12,x1x2=-138.|AB|=1+k2·x1+x22-4x1x2=1+13×122-4×-138=3.命题方向中点弦问题[例2]已知双曲线的方程为x2-y22=1.试问:是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线方程,如果不存在,请说明理由.[分析]不妨假定符合题意的弦存在,那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上,其所在直线的倾角也不可能是90°.[解析]解法一:设被B(1,1)所平分的弦所在的直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程x2-y22=1,得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0.∴Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)0.解得k32,且x1+x2=2kk-1k2-2.∵B(1,1)是弦的中点,∴kk-1k2-2=1,∴k=232.故不存在被点B(1,1)所平分的弦.解法二:设存在被点B平分的弦MN,设M(x1,y1)、N(x2,y2).则x1+x2=2,y1+y2=2,且x21-y212=1,①x22-y222=1.②①-②得(x1+x2)(x1-x2)-12(y1+y2)(y1-y2)=0.∴kMN=y1-y2x1-x2=2,故直线MN:y-1=2(x-1).由y-1=2x-1x2-y22=1消去y得,2x2-4x+3=0,Δ=-80.这说明直线MN与双曲线不相交,故被点B平分的弦不存在.过点P(4,1)的直线l与双曲线x24-y2=1相交于A、B两点,且P为AB的中点,求l的方程.[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),则x214-y21=1,x224-y22=1,两式相减得:14(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0,∵P为AB中点,∴x1+x2=8,y1+y2=2.∴y2-y1x2-x1=1,即所求直线l的斜率为1,∴l方程为y-1=x-4,即x-y-3=0.命题方向综合应用问题[例3]直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围;(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.[解析](1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后整理得,(k2-2)x2+2kx+2=0①依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同的两点,故k2-2≠0Δ=2k2-8k2-20-2kk2-202k2-20,解得k的取值范围为-2k-2.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则由①式得x1+x2=2k2-k2x1·x2=2k2-2,假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(62,0),则FA⊥FB,∴(x1-62)(x2-62)+y1y2=0,即(x1-62)(x2-62)+(kx1+1)(kx2+1)=0.(1+k2)x1x2+(k-62)(x1+x2)+52=0,∴(1+k2)·2k2-2+(k-62)·2k2-k2+52=0,化简得5k2+26k-6=0.解得k=-6+65,或k=6-65∉(-2,-2)(舍去).可知k=-6+65使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(3,0).(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OA→·OB→2(其中O为原点),求k的取值范围.[解析](1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0).由已知得a=3,c=2,于是a2+b2=22,b2=1,故双曲线C的方程为x23-y2=1.(2)将y=kx+2代入x23-y2=1,得(1-3k2)x2-62kx-9=0.由直线l与双曲线交于不同的两点,得1-3k2≠0Δ=62k2+361-3k2=361-k20,即k2≠13且k21.设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=62k1-3k2,xAxB=-91-3k2.由OA→·OB→2,得xAxB+yAyB2.xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+2)(kxB+2)=(k2+1)xAxB+2k(xA+xB)+2=(k2+1)-91-3k2+2k62k1-3k2+2=3k2+73k2-1.于是3k2+73k2-12,即-3k2+93k2-10,解得13k23,又∵k21,∴13k21,故k的取值范围为(-1,-33)∪(33,1).[例4]已知双曲线x2-y24=1,过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点,求直线l的斜率k的值.[错解]设l:y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0.由题意,Δ=(2k-2k2)2-4(4-k2)·(-k2+2k-5)=0,所以k=52.[辨析]错因在于忽视了4-k2=0,即l与双曲线的渐近线平行时,l与双曲线只有一个交点也符合题意.另外没有考虑直线l斜率不存在的情况.[正解]可分两种情况:(1)直线l斜率不存在时,l:x=1与双曲线相切,符合题意;(2)直线l斜率存在时,设l方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0,当4-k2=0时,k=±2,即l与双曲线的渐近线平行时,l与双曲线只有一个公共点;当4-k2≠0时,令Δ=0,所以k=52.综上,k=52或k=±2或k不存在.
本文标题:直线与双曲线的位置关系-课件
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