机器人学第七章(机器人动力学的凯恩方法)

第七章机器人动力学的凯恩方法7.1引言机器人动力学凯恩方程方法是建立在凯恩动力学方程基础上的，因而本章首先介绍凯恩动力学方程。7.1.1质点系的凯恩动力学方程设一质点系具有n个质点，该质点系的动力学普遍方程为01niiiiiramf（7-1）式中if——作用于第i质点主动力矢量；im——质点i的质量；ia——质点i的加速度矢量；ir——质点i在参考坐标系中的位置矢量；ir——质点i的微分位移；“·”——数量积符号。设质点系为完全系，即它具有l个自由度和l个广义坐标，则tqqqrrlii...21（7-2）式中iq――广义坐标；t——时间变量；质点i的线速度为jljqijljjiiiqvqqrdtrvj1.1式中jijiqiqvqrvj.（7-3）凯恩（kane）定义,jiqijvvq为质点I相对于广义速度的偏速度。微分ir可表示为jljqijljjiiqvqqrrj1.1（7-4）将（7-4）代入（7-1）式，得,110jlliiiiqjijfmavq交换求和符号，得,110jlniiiiqjijfmavq因为jq是独立变量，故,10jniiiiqjfmavj=1,2,．．．，l（7-5）或,,110jjnniiqiiiqjifvmav这就是质点系的凯恩动力学方程(KaneDynamicsEquation),可以改写为',1',101,2,,_______jjjjnjiiqinjiiiqiFjlFfvFmavF广义主动力广义惯性力（7-6）7.1.2刚体的凯恩动力学方程如图7-1所示将刚体看成是由n个质点组成的。设刚体的质心为C，以C为力的简化中心并设作用于刚体的主动力的合力为CQ，合力矩为CN：niicfQ1（7-7）niiicRfN1（7-8）当刚体以角速度旋转时，其中点i的速度为ciivvR其中iR——点到质心C的位置矢量；iv——质心C的线速度。点对广义速度的偏速度为0Y0Z0XCvCQCiRiRivCv图7-1刚体中点i的速度iO,jiiciqjjjRvvvqqq或,,jjjqiqCqivvR（7-9）式中,jCqv——质心C相对于jq的偏速度：,jcCqjvvq（7-10）jq——刚体相对于jq的偏角速度：jqjq（7-11）于是作用在刚体上相对于jq的广义力为,,111,11jjjjjnnnjiiqiCqiiqiiinniCqiiqiiFfvfvfRfvfR或,11jjjCCqCqnciinciiiFQvNQfNfR（7-12）相对于jq的广义惯性力为111',,jjjnnnjiiiqiiCqiiiqiiiFmavmavmaR而dtdHRvmdtdRamcniiiiniiii11式中动量矩cH用刚体的惯性张量表示为zyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxIIIIIIIIIHHH（7-13）因此1nCiiiidHmaRIIdt（7-14）得广义惯性力表示为112',,,,jjnjiiCqqiFmavIIjl（7-15）将（7-12）和（7-15）式合并，从而得到刚体的凯恩动力学方程为112,,,,,jjjjnCCqCqiiCqCqiCQvNmavNNIIjl（7-16）式中I——刚体相对于质心C的惯性张量。7.2机器人杆件速度、加速度及偏速度的递推计算公式如图所示，杆件坐标系均设置在各杆件上编号关节处,n个自由度的机器人有n个关节。图中ie~——指定杆件坐标系各iz轴方向的单位矢量，共有i=0，1，2，．．．，n个，它们均是以杆件坐标系描述的常矢量，Tiee100~0；ip~——以杆件坐标系｛i-1｝的原点为始点到以｛i｝系原点为终点的矢量，但它是以｛i｝系描述的矢量；iR~——以杆件坐标系｛i｝描述的第i号杆件质心iC的位置矢量；两相邻坐标系{i-1}及{i}中速度、加速度等的关系可用变换矩阵iA中的旋转子矩阵Cii1及Rii1相联系。仿照第六章处理杆件坐标系及杆件质心的速度及加速度的方法，并考虑到坐标系设置方法上的区别，不难得到如下所述的速度及加速度递推计算公式：图7-2n自由度机器人的杆件坐标系2qx1x0x2xnznnqena2z2e2z0q1=1e0z1e1d1C1a1C22R110111100111011iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiciiiiiiiRsqeRsRqeqevRvpsRqevvsRvR110012iiiiiiiiiiiiciiiiiivppsRqeqevvRR（7-17）式中iq——广义坐标对时间的1阶导数，即关节轴的数量速度；iq——广义坐标对时间的2阶导数，即关节轴的数量加速度；is——关节类型识别符号；为移动关节为转动关节iisi01（7-18）与第六章相同，令000Tvg（7-19）式中g——重力加速度。上式是假定绝对参考系的0Z轴垂直于地面且指向向上的。若0Y轴垂直于地面，则Tgv000其中负号表示0Y轴指向地心（0Y于重力场同方向）。偏速度的递推公式为：11101110010,,,,,.ReRejjjjjjiiiqiiqiiiiqiiiqiiqiiqiiiRjisjijipRvvsps101010,,,,ReRejjijjiqiqiiicqiiqiiiiijijijivRvspRsjijiji（7-20）例7-1如图7-3所示的平面包2自由度机器人，1、2为已知，试用（7-17）及（7-20）式计算各杆的速度、加速度及偏速度。杆件的质心均在杆件的末端。解：11101100001CSRSC，22212200001CSRSC，120RR1100TPl，2200TPl，00，00，00v，000Tvg。式中g——重力加速度。0Y轴与重力场反向，故g取正。i=1时：110010100TRe11001,T1111100111000000lvpRvl1111100,Cvvl111100010101111000000001CSReeSC111100111111211111111111000001000000000000CSvRvppSCglllSglCg1211111111111110ClSgvvRRvlCgi=2时：22221120222112000000000011CSReSC12001,，22001,2x2y2m2l1x1m211lO0Y0X图7-3平面2自由度机器人1y222221122221112121212121000000001000CSlvRvpSCllSllC212122222121210ClSvvRvllC2112212,0ClSvllC，222,00Cvl2211120202222112212000000000000001ReeCSSC22222221122121212211122221110000000000000010vppRvlllSgCSSClCg22222222Cvppvv（同上式）此例所得各质心的速度及加速度的计算结果与上一章的计算方法得到的结果是完全相同（例7-2将用此例的偏速度）。7.3关节驱动力或力矩的求解以下分末端执行器有无负载的两种情形进行讨论。7.3.1无负载时关节力或力矩设末端杆件为旋转关节，相对于n的广义力计算简图如图7-4所示。图中nf~——作用在末端杆件坐标系中的主动力;nn~——在末端杆件坐标系中的主动力矩;1~ne、ne~——坐标系{n}及{n-1}中z轴的单位矢量，且Tnneee100~~~01应用凯恩方程（7-16）：0jjqqFFj=1，2，…，n,jjjqqCCqCFQvN,1jjjnqqiiCqiFmavII有,,,,nnnnnnnnnnnCnnnnnnnCCnfvnfPRmvvII（7-21）式中nm——杆件n的质量，集中于质心nC；nI——杆件n相对于质心nC的惯性张量。利用偏速度的公式（7-20），上式的左端为1no1nxnp~nf~nn~nCnenonx1ne1nZnZ图7-4末端杆件广义力j计算简图10,,,,,,,RennnnnnnnnnnnnnCnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnFfvnfpRfpRnfpRnfpRfpRn,,,,nnnnnnnnnnnnnnfpRfpRn得n-10.RennnnnnnFnn（关节n的力矩）考虑（7-21）式的右端，所以,,nnnnnncnnnnnnnmvNNII（7-22）为了导出第n-1号杆质心1nC的广义公式，需要第n号杆到n-1号杆讲的