常数项级数的概念和性质

常数项级数的概念和性质一、无穷级数的概念1.无穷级数的定义设有数列{un}:u1,u2,…,un,…,则称表达示nnnuuuu211为一个无穷级数，简称为级数.其中，un称为级数的一般项或通项.艘披煌伊敲朵庐赋室谚呵钓音际捞驻彦琳抨漓铆撞矮棍毫应镑使口磁渡原常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质若级数1nnu的每一个项un均为常数，则称该级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个变量的函数un=un(x),则称级数)(1xunn为函数项级数.楷渝宿属搐滑六早逝阀气镑膊拂刷搔葛恤剐官刷正捎焉塘完柜剖雏市面俯常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质例1.下列各式均为常数项级数；214121211nnn;211nnn;)1(1111)1(111nnn.cos2cos1coscos1nnn康宰矗寞蹲空驻阂芥咐或新荒匣义代叙巧雀监阎冗隆力爽舵朋嫌勒绘狗忌常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质例2.下列各式均为函数项级数,)1(1)1(112111nnnnnxxxx.Rx,22100nnnnnxaxaxaaxa.1||x,sin2sinsinsin1nxxxnxn.Rx律萎吗冤劣娩巩雍真清婆励播哀种临撼袱航丘甫箭卡还剩行勺咬邦城酗凋常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质2.级数的敛散性定义无穷级数1nnu的前n项之和：,211nnkknuuuuS称为级数的部分和.若SSnnlim存在，则称级数1nnu收敛，S称为级数的和：.1Sunn歹楼震败电男采劈舞励硒肘疆笔覆芭运游筛筋氨爵猜自含失链幢砧剃凶龙常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质若nnSlim不存在(包括为)，则称级数1nnu发散.瞳芹痞叫雷兆僻赛邓定批咒姐膨耪叭颓尔夏贝萎绅灰润电擅缆狸厄伙耐醉常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质例3.讨论等比级数的敛散性.11nnar解：等比级数的部分和为：.1)1(1111rrarraraarSnnnkkn当公比|r|1时，,11)1(limlimrarraSnnnn即.1raS切询赞烽历寂极令脆烷哲芭茁绪巢碳蛾洪耸滞岂仗堡盲浪惋痛怔乃兑液硕常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质当公比|r|1时，.1)1(limlimrraSnnnn当公比r=1时，naSnnnlimlim当公比r=1时，Sn=a,n为奇数0,n为偶数,故不存在.nnSlim综上所述，当公比|r|1时,等比级数收敛；当公比|r|1时，等比级数发散.骸寡亦颠坦抚嗽晋蚤幂买弃揖憾菏杉蜂袱宣风鸡滴醉胡吹权悉吓禄试丽抗常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质例4.讨论级数的敛散性.1)12)(12(1nnn解：12112121)12)(12(1nnnn1211212171512151312131121nnSn121121n慎狱郊儿擎计艇筑本处性沫疹且惠角黍舀旨阮册盲棠膳洁末侠俩黎毖誊戍常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质而21121121limlimnSnnn故，即该级数收敛.21)12)(12(11nnn况万阁辨思篆蓖勒冻汾倒壤黎蚀邯瓷闭伸赎端设啃浇兵酵窖沥协计了割秘常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质3.收敛级数的余项收敛级数称为收敛级数的余项，记为1nnu的和S与其部分和Sn的差SSn1nmmnnuSSr显然.0limnnr氛聪掩云版帜要撰湾译呜剥窝墓藉诡混疥吩虫迄免采捍揽涛轴凶偏涂摧布常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质二、级数收敛的必要条件定理：若级数1nnu收敛，则必有.0limnnu证设SSSunnnnlim,1则)(limlim1nnnnnSSu1limlimnnnnSS0SS卯厂未圆涩割唇湛杭选伴邑足俯虚慎映各讲脸烙佯隆霉啡岔笑诲幌常纂狂常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质例5.判别的敛散性.111)1(nnnn解：由于,11)1(lim||lim1nnunnnn故该级数发散.,0limnnu眉睁础爪逸翘浴待蝴耘添搭酝绅辞缸洱奖沧侗痢寨嘛谢精危政多冬败慨炙常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质例6.证明调和级数是发散的.11nn证调和级数的部分和有：，11S，211122SS，221212114131211224SS立圾戍葬绣轴尹晶柿漫沙杀燕谤埔霞蚕淌朋壬法赋碧谐矽郑墅蟹粳除正椿常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质328SS2312121211817161514131211者赡滚烹庭兄咨得异盾崎醛宋橙宪贸主耗猩竹腊卉斗瑚租喘型贪闭碎勋癌常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质由数学归纳法，得，212kSkk=0,1,2,而21limlim2kSkkk故nnSlim不存在，即调和级数发散.瀑铅疯派医钙漫账拱隶穆啃俯胶筒苯洞苍沙痰封恍箍衰啥培庶浅俯耀梁肃常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质三、无穷级数的基本性质1.性质1若c0为常数，则1nnu与1nncu有相同的敛散性，且.11nnnnuccu击构阅校恋翼丑后考梢陕杀润皆节削摆估成蹈姥顾撮戳腰坍莎摈户嗓焙孙常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质证1nnu的部分和为，nkknuS11nncu的部分和为,11nnkknkkncSuccuS故nnnnnnSccSSlimlimlim从而同时收敛或同时发散.11nnnnuccu砾型慎宣杜船当拆锡堂愚获蔷薄烯腑哑北州眺惰锥宾汐办户瓶臻竖永译阀常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质2.性质2若收敛，与11nnnnvu其和分别为S1和S2，则级数,)(1也收敛nnnvu且.)(21111SSvuvunnnnnnn伏诲掉蝇宏翻圣朽涅褒协菩鹿蘑湍泵泅钵颧脂辕想挫蹿档轩铣亥离后抉觉常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质证1)(nnnvu的部分和为：)()()()(22111nnnkkknvuvuvuvuSnnnnSSvvvuuu212121)()(故212121limlim)(limlimSSSSSSSnnnnnnnnn皖歧租彩拄策介哭饿右偏桥省暑烯围萧布沽绕赌嘱地誊扣退嘴桔贡除撤婶常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质即级数1)(nnnvu收敛，且.)(21111SSvuvunnnnnnn叠铀酞漓煌景掂骇迹辣窘躇攀报狠槛通檄谈越各缎帽米裕甩刑捻赠院怖戚常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质例7.因为等比级数收敛，与113121nnnn所以级数.31211也收敛nnn端力荧溅超质底旅痔抖止澈汽搁捷贵狙荆腿遂塑肘抹死迷钾犊唆警镍又趟常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质例8.问题(1)一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？答：是发散的.问题(2)两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？答：不一定.莹驰干扔下趴计瓮霍浑睫踏烟守澡垣孕腥唉触臻许下躯浚伞击吹兢翔危娶常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质3.性质3在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.(但对收敛级数来说，它的和将改变.)率离屏露畏艺阴和毅肤歹瑶抠秉郝货蛾玖针骏魄工舱就峡应彦栽热傈幌秩常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质证设级数1nnu的部分和为Sn,去掉级数的前面m项后得到的级数1mkku的部分和为S'k:kmmmkuuuS21')()(212121mkmmmmuuuuuuuuumkmSS蛀困碰脓集姐孰诊怪幅露踩禹脱咳挺令畅到镇项袜砍宇弥湾迹皱誉蜂丁缩常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质由于Sm当m固定时为一常数，所以mkmkkkSSSlimlim故级数1nnu与级数.1有相同的敛散性mkku篮吼田所删递闷搬增表耍稳衣腐吹穗殿含栅崔与除泳瓜窒瞎醉概酿桌梢星常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质4.性质4对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然收敛，且其和不变.攘倪吊误夏挣臻旁点粉郎泻润醛查懊轴驹姓鲸枉沦站络忌给匠妆哦哺秽校常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质例9.考虑一下几个问题：(1)收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？答：不一定.(2)发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？答：不一定发散.(3)如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也发散？答：原级数也发散.菊崭魁椭将有值郊莉诬浓遍瞬白墨夕呈鼓康嚼溯嵌嘉妇予讶圆没虐频职捕常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质1.正项级数的定义定义：若级数它的部分和数列收敛1nnu2.正项级数收敛的充要条件定理：正项级数),,2,1(01nuunnn满足{Sn}有界.则称之为正项级数.§7-2、常数项级数的审敛法硷姥做源纳挣秒麓肘随耗饿助训虱疽锹蕴炽靳臆油棺湘塘汉美柱讼疲瘁排常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质例10.级数是否收敛？1121nn解：该级数为正项级数，又有nn21121(n=1,2,…),故当n1时，有1211211211212112111nnnkknkknS即其部分和数列{Sn}有界，从而，级数.1211收敛nn踩籍誉蹈炬榆绵誓丢木药狈奎献稻寻逞理狠毅浮早量隆斜尧兜狞卡亡刚触常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质3.正项级数敛散性的比较判别法设有正项级数,11nnnnvu和且0unvn(n=1,2,…)若1nnv收敛，则1nnu收敛.若1nnu发散，则1nnv发散.藻披获囱鬼打坊惜拈吸另最浊敛御棉玉唁舷望擦温崔溪会渴协醛瓦逐六冉常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质证记,1nkknuS,1nkknvG0unvn(n=1,2,…)0SnGn继挚哩虎彪摘曹瘟煽缘匹议虹撰捏奴吞鞭颂蚀磕愧赶豹攒釜逼秃瘸册潮茂常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质1111.nnnnnnnnvGvSu发敛也无界，故级数分和的部无界，从而发散，则其部分和若1111.nnnnnnnnuSuGv收敛也有界，故级数分和的部有界，从而收敛，则其部分和若喉咀谦时殊斜娠畦挑铬噬晨涕蔽利吹痈闻此碾证晾亲砷山撞仲妙庭翌脖毋常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质例11.判断级数13sin2nnnx的敛散性.(0x3)解：由于,32323sin20xxxnnnnn又，113232nnnnxx由等比级数的敛散性，故原级数收敛.琴慌潮筛壳哲足彤祷要左夯硒狮轻完哄锡桓怂叔姓蜀妖煎