北师大版八年级数学上册第七章-平行线的证明-单元同步练习题(-教师版)

北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明单元同步练习题一、选择题1．下列说法正确的是(D)A．所有命题都是定理B．三角形的一个外角大于它的任一内角C．三角形的外角和等于180°D．公理和定理都是真命题2.下列各命题是假命题的是(D)A．如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形B．每个角都等于60°的三角形是等边三角形C．如果a3＝b3，那么a＝bD．对应角相等的三角形是全等三角形3．如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是(C)A．∠EDC＝∠EFCB．∠AFE＝∠ACDC．∠3＝∠4D．∠1＝∠24．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为(B)A．45°B．48°C．50°D．58°5．如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为(B)A．65°B．70°C．75°D．85°6．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是(B)A．45°B．50°C．55°D．80°二、填空题7．如图，把一张三角形纸片(△ABC)进行折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为DE，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC.若∠B＝75°，则∠BDF的度数为30°．8．将一个含有45°角的直角三角板摆放在长方形上，如图所示．若∠1＝40°，则∠2＝85°．9．如图，在△ABC中，∠A＝70°.按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC，CA，CB于点D，E，F，G；②分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧交于点M；③分别以点F，G为圆心，大于12FG的长为半径画弧，两弧交于点N；④作射线BM交射线CN于点O，则∠BOC的度数是125°．10．如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A＝110°，第二次拐的角∠B＝145°，则第三次拐的角∠C＝145°时，道路CE才能恰好与AD平行．11．如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC；②BD平分ADC；③∠ADC＋∠ABD＝90°；④∠ACB＝2∠ADB；⑤∠BDC＝12∠BAC.其中正确的结论有①③④⑤(填序号)．三、解答题12．如图，在△ABD中，∠ABD＝∠BAD＝2∠D，AC是∠BAD的平分线，交AD边上的高BE于点F.(1)求∠ABE的度数；(2)求∠BFC的度数．解：(1)∵在△ABD中，∠ABD＝∠BAD＝2∠D，且∠ABD＋∠BAD＋∠D＝180°，∴∠ABD＝∠BAD＝72°，∠D＝36°.∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°.∴∠ABE＝180°－90°－72°＝18°.(2)∵AC是∠BAD的平分线，∴∠BAC＝∠CAD＝36°.∵∠BFC为△ABF的外角，∴∠BFC＝∠BAC＋∠ABF＝54°.13.如图，已知四边形ABCD，AB∥CD，点E是BC延长线上一点，连接AC，AE，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：(1)∠BAE＝∠DAC；(2)∠3＝∠BAE；(3)AD∥BE.证明：(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE，即∠BAE＝∠DAC.(2)∵AB∥CD，∴∠4＝∠BAE.∵∠3＝∠4，∴∠3＝∠BAE.(3)∵∠3＝∠BAE，∠BAE＝∠DAC，∴∠3＝∠DAC.∴AD∥BE.14.如图，∠ADE＋∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F.(1)AD与BC平行吗？请说明理由；(2)AB与EF的位置关系如何？为什么？(3)若BE平分∠ABC.试说明：①∠ABC＝2∠E；②∠E＋∠F＝90°.解：(1)AD∥BC.理由如下：∵∠ADE＋∠BCF＝180°，∠ADE＋∠ADC＝180°，∴∠BCF＝∠ADC.∴AD∥BC.(2)AB∥EF.理由如下：∵AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F，∴∠BAF＝12∠BAD＝∠F.∴AB∥EF.(3)①∵AB∥EF，∴∠ABE＝∠E.∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝2∠E.②∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°.∵∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E，∴2∠E＋2∠F＝180°.∴∠E＋∠F＝90°.15.如图，在△ABC中，三条内角平分线AD，BE，CF相交于点O，OG⊥BC于点G.(1)若∠ABC＝40°，∠BAC＝60°，求∠BOD和∠COG的度数；(2)若∠ABC＝α，∠BAC＝β，猜想∠BOD和∠COG的数量关系，并说明理由．解：(1)∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠OAB＝12∠BAC＝30°，∠OBA＝12∠ABC＝20°.∴∠BOD＝∠OAB＋∠OBA＝50°.∵CF平分∠ACB，∴∠OCG＝12∠ACB＝12(180°－∠ABC－∠BAC)＝40°.∴∠COG＝90°－∠OCG＝50°.(2)∠BOD和∠COG相等．理由如下：∠BOD＝∠OAB＋∠OBA＝12∠BAC＋12∠ABC＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB＝90°－∠OCG＝∠COG.16.在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动(不与点G重合)，过点D作DE∥AC交AB于点E.(1)如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分∠EDB.①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，则∠AFD＝115°；若∠B＝40°，则∠AFD＝110°；②试探究∠AFD与∠B之间的数量关系？请说明理由；(2)如图2，点D在线段BG上运动时，∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F，试探究∠AFD与∠B之间的数量关系，并说明理由．解：(1)②∠AFD＝90°＋12∠B.理由如下：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C.∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴∠BAG＝12∠BAC，∠FDG＝12∠EDB＝12∠C.∵∠DGF＝∠B＋∠BAG，∴∠AFD＝∠DGF＋∠FDG＝∠B＋∠BAG＋∠FDG＝∠B＋12(∠BAC＋∠C)＝∠B＋12(180°－∠B)＝90°＋12∠B.(2)∠AFD＝90°－12∠B.理由如下：∵∠EDB＝∠C，∠BAG＝12∠BAC，∠BDH＝12∠EDB＝12∠C，又∵∠AHF＝∠B＋∠BDH，∴∠AFD＝180°－∠BAG－∠AHF＝180°－12∠BAC－∠B－∠BDH＝180°－12∠BAC－∠B－12∠C＝180°－∠B－12(∠BAC＋∠C)＝180°－∠B－12(180°－∠B)＝180°－∠B－90°＋12∠B＝90°－12∠B.17．已知AB∥CD，AM平分∠BAP.(1)如图1，CM平分∠PCD，若∠P＝110°，直接写出∠M＝55°；(2)如图2，(P，M在直线AC异侧)CM平分∠PCD，写出∠P与∠M的数量关系，并证明．解：∠APC＋2∠AMC＝360°.证明如下：过P作PQ∥AB交AM于点Q，MN∥AB交PC于点N，则AB∥PQ∥MN∥CD.∴∠APQ＝180°－∠BAP，∠CPQ＝180°－∠DCP，∠AMN＝∠BAM，∠CMN＝∠DCM.∵AM平分∠BAP，CM平分∠PCD，∴∠BAP＝2∠BAM，∠DCP＝2∠DCM.∴∠APC＝∠APQ＋∠CPQ＝180°－∠BAP＋180°－∠DCP＝360°－2(∠BAM＋∠DCM)＝360°－2(∠AMN＋∠CMN)＝360°－2∠AMC.∴∠APC＋2∠AMC＝360°.18．我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图1，EF为一镜面，AO为入射光线，入射点为点O，ON为法线(过入射点O且垂直于镜面EF的直线)，OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON.(1)如图1，若∠AOE＝65°，则∠BOF＝65°；若∠AOB＝80°，则∠BOF＝50°；(2)两平面镜OP，OQ相交于点O，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B.①如图2，当∠POQ为多少度时，光线AM∥NB？请说明理由；②如图3，若光线AM，NB相交于点E，请探究∠POQ与∠MEN之间满足的等量关系，并说明理由；③如图4，若光线AM，NB所在的直线相交于点E，请探究∠POQ与∠MEN之间满足的等量关系，并说明理由．解：设∠AMP＝∠NMO＝α，∠BNQ＝∠MNO＝β.①当AM∥BN时，∠AMN＋∠BNM＝180°，即180°－2α＋180°－2β＝180°.∴180°＝2(α＋β)．∴α＋β＝90°.∴△MON中，∠O＝180°－∠NMO－∠MNO＝180°－(α＋β)＝90°.∴当∠POQ为90°时，光线AM∥NB.②∠MEN＋2∠O＝180°.理由如下：在△MON中，∠O＝180°－α－β.∴α＋β＝180°－∠O.∵∠EMN＝180°－2α，∠ENM＝180°－2β，∴△MEN中，∠MEN＝180°－∠EMN－∠ENM＝180°－(180°－2α)－(180°－2β)＝2(α＋β)－180°.∴∠MEN＝2(180°－∠O)－180°＝180°－2∠O，即∠MEN＋2∠O＝180°.③∠MEN＝2∠POQ.理由如下：∴∠AMN＝180°－2α，∠MNE＝180°－2β.∵∠AMN是△MEN的外角，∴∠MEN＝∠AMN－∠MNE＝(180°－2α)－(180°－2β)＝2(β－α)．∵∠MNQ是△MNO的外角，∴∠POQ＝∠MNQ－∠NMO＝β－α.∴∠MEN＝2∠POQ.