高考数列压轴题含答案

1高考数列压轴题一．解答题（共50小题）1．数列{an}满足a1=1，a2=+，…，an=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）求an与an﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）；（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）2．已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤；（Ⅲ）≤xn≤．3．数列{an}中，a1=，an+1=（n∈N*）（Ⅰ）求证：an+1＜an；（Ⅱ）记数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn＜1．4．已知正项数列{an}满足an2+an=3a2n+1+2an+1，a1=1．（1）求a2的值；（2）证明：对任意实数n∈N*，an≤2an+1；（3）记数列{an}的前n项和为Sn，证明：对任意n∈N*，2﹣≤Sn＜3．25．已知在数列{an}中，．，n∈N*（1）求证：1＜an+1＜an＜2；（2）求证：；（3）求证：n＜sn＜n+2．6．设数列{an}满足an+1=an2﹣an+1（n∈N*），Sn为{an}的前n项和．证明：对任意n∈N*，（I）当0≤a1≤1时，0≤an≤1；（II）当a1＞1时，an＞（a1﹣1）a1n﹣1；（III）当a1=时，n﹣＜Sn＜n．7．已知数列{an}满足a1=1，Sn=2an+1，其中Sn为{an}的前n项和（n∈N*）．（Ⅰ）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，．8．已知数列{an}满足a1=1，（n∈N*），（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：．9．设数列{an}的前n项的和为Sn，已知a1=，an+1=，其中n∈N*．（1）证明：an＜2；（2）证明：an＜an+1；（3）证明：2n﹣≤Sn≤2n﹣1+（）n．310．数列{an}的各项均为正数，且an+1=an+﹣1（n∈N*），{an}的前n项和是Sn．（Ⅰ）若{an}是递增数列，求a1的取值范围；（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有Sn≥na1﹣（n﹣1），证明：Sn＜2n+1．11．设an=xn，bn=（）2，Sn为数列{an•bn}的前n项和，令fn（x）=Sn﹣1，x∈R，a∈N*．（Ⅰ）若x=2，求数列{}的前n项和Tn；（Ⅱ）求证：对∀n∈N*，方程fn（x）=0在xn∈[，1]上有且仅有一个根；（Ⅲ）求证：对∀p∈N*，由（Ⅱ）中xn构成的数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜．12．已知数列{an}，{bn}，a0=1，，（n=0，1，2，…），，Tn为数列{bn}的前n项和．求证：（Ⅰ）an+1＜an；（Ⅱ）；（Ⅲ）．13．已知数列{an}满足：a1=，an=an﹣12+an﹣1（n≥2且n∈N）．（Ⅰ）求a2，a3；并证明：2﹣≤an≤•3；（Ⅱ）设数列{an2}的前n项和为An，数列{}的前n项和为Bn，证明：=an+1．14．已知数列{an}的各项均为非负数，其前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有．4（1）若a1=1，a505=2017，求a6的最大值；（2）若对任意n∈N*，都有Sn≤1，求证：．15．已知数列{an}中，a1=4，an+1=，n∈N*，Sn为{an}的前n项和．（Ⅰ）求证：n∈N*时，an＞an+1；（Ⅱ）求证：n∈N*时，2≤Sn﹣2n＜．16．已知数列{an}满足，a1=1，an=﹣．（1）求证：an≥；（2）求证：|an+1﹣an|≤；（3）求证：|a2n﹣an|≤．17．设数列{an}满足：a1=a，an+1=（a＞0且a≠1，n∈N*）．（1）证明：当n≥2时，an＜an+1＜1；（2）若b∈（a2，1），求证：当整数k≥+1时，ak+1＞b．18．设a＞3，数列{an}中，a1=a，an+1=，n∈N*．（Ⅰ）求证：an＞3，且＜1；（Ⅱ）当a≤4时，证明：an≤3+．19．已知数列{an}满足an＞0，a1=2，且（n+1）an+12=nan2+an（n∈N*）．（Ⅰ）证明：an＞1；5（Ⅱ）证明：++…+＜（n≥2）．20．已知数列{an}满足：．（1）求证：；（2）求证：．21．已知数列{an}满足a1=1，且an+12+an2=2（an+1an+an+1﹣an﹣）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：++…+＜；（3）记Sn=++…+，证明：对于一切n≥2，都有Sn2＞2（++…+）．22．已知数列{an}满足a1=1，an+1=，n∈N*．（1）求证：≤an≤1；（2）求证：|a2n﹣an|≤．23．已知数列{an]的前n项和记为Sn，且满足Sn=2an﹣n，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：+…（n∈N*）24．已知数列{an}满足：a1=，an+1=+an（n∈N*）．6（1）求证：an+1＞an；（2）求证：a2017＜1；（3）若ak＞1，求正整数k的最小值．25．已知数列{an}满足：an2﹣an﹣an+1+1=0，a1=2（1）求a2，a3；（2）证明数列为递增数列；（3）求证：＜1．26．已知数列{an}满足：a1=1，（n∈N*）（Ⅰ）求证：an≥1；（Ⅱ）证明：≥1+（Ⅲ）求证：＜an+1＜n+1．27．在正项数列{an}中，已知a1=1，且满足an+1=2an（n∈N*）（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明．an≥．28．设数列{an}满足．（1）证明：；（2）证明：．29．已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（Sn+n+1）（n∈N*），令bn=an+1．（Ⅰ）求证：{bn}是等比数列；（Ⅱ）记数列{nbn}的前n项和为Tn，求Tn；7（Ⅲ）求证：﹣＜+…+．30．已知数列{an}中，a1=3，2an+1=an2﹣2an+4．（Ⅰ）证明：an+1＞an；（Ⅱ）证明：an≥2+（）n﹣1；（Ⅲ）设数列{}的前n项和为Sn，求证：1﹣（）n≤Sn＜1．31．已知数列{an}满足a1=，an+1=，n∈N*．（1）求a2；（2）求{}的通项公式；（3）设{an}的前n项和为Sn，求证：（1﹣（）n）≤Sn＜．32．数列{an}中，a1=1，an=．（1）证明：an＜an+1；（2）证明：anan+1≥2n+1；（3）设bn=，证明：2＜bn＜（n≥2）．33．已知数列{an}满足，（1）若数列{an}是常数列，求m的值；（2）当m＞1时，求证：an＜an+1；（3）求最大的正数m，使得an＜4对一切整数n恒成立，并证明你的结论．34．已知数列{an}满足：，p＞1，．（1）证明：an＞an+1＞1；8（2）证明：；（3）证明：．35．数列{an}满足a1=，an+1﹣an+anan+1=0（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an＜1．36．已知数列{an}满足a1=1，an+1=an2+p．（1）若数列{an}就常数列，求p的值；（2）当p＞1时，求证：an＜an+1；（3）求最大的正数p，使得an＜2对一切整数n恒成立，并证明你的结论．37．已知数列{an}满足a1=a＞4，，（n∈N*）（1）求证：an＞4；（2）判断数列{an}的单调性；（3）设Sn为数列{an}的前n项和，求证：当a=6时，．38．已知数列{an}满足a1=1，an+1=．（Ⅰ）求证：an+1＜an；（Ⅱ）求证：≤an≤．39．已知数列{an}满足：a1=1，．（1）若b=1，证明：数列是等差数列；（2）若b=﹣1，判断数列{a2n﹣1}的单调性并说明理由；（3）若b=﹣1，求证：．40．已知数列{an}满足，（n=1，2，3…），，Sn=b1+b2+…+bn．证明：（Ⅰ）an﹣1＜an＜1（n≥1）；（Ⅱ）（n≥2）．941．已知数列{an}满足a1=1，an+1=，n∈N*，记S，Tn分别是数列{an}，{a}的前n项和，证明：当n∈N*时，（1）an+1＜an；（2）Tn=﹣2n﹣1；（3）﹣1＜Sn．42．已知数列{an}满足a1=3，an+1=an2+2an，n∈N*，设bn=log2（an+1）．（I）求{an}的通项公式；（II）求证：1+++…+＜n（n≥2）；（III）若=bn，求证：2≤＜3．43．已知正项数列{an}满足a1=3，，n∈N*．（1）求证：1＜an≤3，n∈N*；（2）若对于任意的正整数n，都有成立，求M的最小值；（3）求证：a1+a2+a3+…+an＜n+6，n∈N*．44．已知在数列{an}中，，，n∈N*．（1）求证：1＜an+1＜an＜2；（2）求证：；（3）求证：n＜sn＜n+2．45．已知数列{an}中，，（n∈N*）．（1）求证：；（2）求证：是等差数列；10（3）设，记数列{bn}的前n项和为Sn，求证：．46．已知无穷数列{an}的首项a1=，=n∈N*．（Ⅰ）证明：0＜an＜1；（Ⅱ）记bn=，Tn为数列{bn}的前n项和，证明：对任意正整数n，Tn．47．已知数列{xn}满足x1=1，xn+1=2+3，求证：（I）0＜xn＜9；（II）xn＜xn+1；（III）．48．数列{an}各项均为正数，且对任意n∈N*，满足an+1=an+can2（c＞0且为常数）．（Ⅰ）若a1，2a2，3a3依次成等比数列，求a1的值（用常数c表示）；（Ⅱ）设bn=，Sn是数列{bn}的前n项和，（i）求证：；（ii）求证：Sn＜Sn+1＜．49．设数列满足|an﹣|≤1，n∈N*．（Ⅰ）求证：|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）（Ⅱ）若|an|≤（）n，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*．50．已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an+．（n∈N*）（Ⅰ）证明：≥1+；（Ⅱ）求证：＜an+1＜n+1．11高考数列压轴题参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．数列{an}满足a1=1，a2=+，…，an=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）求an与an﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）；（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）【解答】解：（1）a2=+=2+2=4，a3=++=3+6+6=15，a4=+++=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64，a5=++++=5+20+60+120+120=325；（2）an=++…+=n+n（n﹣1）+n（n﹣1）（n﹣2）+…+n!=n+n[（n﹣1）+（n﹣1）（n﹣2）+…+（n﹣1）!]=n+nan﹣1；（3）证明：由（2）可知=，所以（1+）（1+）…（1+）=•…==+++…+=+++…+=+++…+≤1+1+++…+=2+1﹣+﹣+…+﹣=3﹣＜3（n≥2）．所以n≥2时不等式成立，而n=1时不等式显然成立，所以原命题成立．2．已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；12（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤；（Ⅲ）≤xn≤．【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn＞0，当n=1时，x1=1＞0，成立，假设当n=k时成立，则xk＞0，那么n=k+1时，若xk+1＜0，则0＜xk=xk+1+ln（1+xk+1）＜0，矛盾，故xn+1＞0，因此xn＞0，（n∈N*）∴xn=xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1，因此0＜xn+1＜xn（n∈N*），（Ⅱ）由xn=xn+1+ln（1+xn+1）得xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1），记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0∴f′（x）=+ln（1+x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）=0，因此xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）≥0，故2xn+1﹣xn≤；（Ⅲ）∵xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤xn+1+xn+1=2xn+1，∴