浅谈一元二次方程的应用

浅谈一元二次方程的应用姓名：宋永安年级：2011级专业：数学应用指导教师：王元会浅谈一元二次方程的应用(宋永安，2011级，数学应用本科)文章摘要：一元二次方程在初中教学内容中，站着举足轻重的地位，学好一元二次方程，是学好二次函数不可或缺的捷径，也是学好高中数学的奠基工程。因此，本文将从函数入手，着重探讨一下一元二次方程的概念、形式、解法以及应用，以求对于一元二次方程有个深入的解析。关键词：函数一元二次方程应用一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》和分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。学好一元二次方程，是学好二次函数不可或缺的捷径，也是学好高中数学的奠基工程。应该说，一元二次方程是初中教学的重点内容。一、函数1、函数的概念函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。1755欧拉首次给出了函数变量定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面的变量变化时，前者的这些量也随之变化，则将前面的变量称之为后一些变量的函数.由此演变为目前的函数的“变量说”，黎曼在1851定义：“我们假定z是一个变量，如果对它的每一个值，都有未知量W的一元二次方程应用根的判别式简单的实际问题二次三项式的因式分解解法因式分解法公式法配方法开平方法每一个值与之对应，则称W是Z的函数.1939年，布尔巴基学派主借用了笛卡儿积建立关系，进而定义函数：(1)对中每一个元素x，存在yB，使,xyF；(2)若1,xyF且2,xyF，则12yy.数F记作：:FAB.分别称以上函数的定义为变量说、对应说和关系说.2、函数概念的核心思想数学的核心是研究关系，即数量关系、图形关系和随机关系.数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系.中有三点是重要的，一是变量的取值是实数；二是因变量的取值是唯一的；三是必须借助数字以外的符号表示函数.函数的表达方式一般有三种：解析式法，表格法，图像法.解析式是最常用的方法，适用于表示连续函数或者分段函数.析式有利于研究函数性质，构建数学模型，但对初学者来说也是抽象的.表法适用于表达变量取值是离散的情况.用图像法可以直观地表述函数的形态，有利于分析函数的性质，但作图是比较困难的，用何种方法来表达函数因题而异.3、中学数学研究的函数性质数学中研究函数主要是研究函数的变化特征.学阶段主要研究函数的周期性，也涉及奇偶性；在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性，也讨论某些函数的奇偶性.(1)函数的周期性周期性反映了函数变化周而复始的规律.中学阶段学习函数的一个基本的性质.期函数是刻画周期变化的基本函数模型，使我们集中研究函数在一个周期里的变化，了解函数在整个定义域内的变化情况.(2)函数的奇偶性函数的奇偶性也是我们在中学阶段学习函数时要研究的函数的性质，但它不是最基本的性质.偶性反应了函数图形的对称性质，可以帮助我们用对称思想来研究函数的变化规律.(3)函数的单调性单调性是讨论函数“变化”的一个最基本的性质.几何的角度看，就是研究函数图像走势的变化规律.4、函数与其它内容的联系(1)函数与方程用函数的观点看待方程可以把方程的根看成函数与x轴交点的横坐标，即零点的横坐标.程可看作函数的局部性质，求方程的根就变成了求函数图形与x轴的交点问题.(2)函数与数列数列是特殊的函数.的定义域一般是指非负的正整数集，有时也可以为自然数集，或者自然数集的子集.列通常称为离散函数.差数列是线性函数的离散化，而等比数列是指数函数的离散化.(3)函数与不等式我们首先确定函数图像与x轴的交点（方程f(x)=0的解），再根据函数的图像来求解不等式.(4)函数与线性规划是最优化问题的一部分，从函数的观点来看：首先，要确定目标函数，用目标函数来刻画“好、坏”或“大、小”等.次，需要确定目标函数的可行域.后，讨论目标函数在可行域（由约束条件确定的定义域）内的最值问题.线性规划问题，可归结为以下算法：第一步，确定目标函数；第二步，确定目标函数的可行域；第三步，确定目标函数在可行域内的最值.5、函数模型函数是对现实世界数量关系的抽象，是建立思想模型的基础，具有良好的普适性和代表意义.实生活中，普遍存在着最优化问题——最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数建模的思想进行解决.运用一次函数知识和方法建模解决时，有时要涉及到多种方案，通过比较，从中挑选出最佳的方案.在实际的教学中，除了使学生了解所学习的函数在现实生活中有丰富的“原型”之外，还应通过实例介绍或让学生通过运算来体验函数模型的多样性.有通过实例，才能让学生体会、感受数据拟合在预测、规划等方面的重要作用，使学生们学会并运用用数学的知识、思想方法、数学模型去解决生活中的实际问题，提高运用数学的能力．要鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例进行探索实践.下面我们通过常见的函数模型——一元二次方程，来揭开函数与方程这种数学思想的神秘面纱.二、一元二次方程1、一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.2、一元二次方程的一般式2y0,,0axbxcabca其中为常数，且，则称y为x的二次函数.顶点坐标为(2ba,244acba).经过适当变形，继而我们可以得到：(1)顶点式：2()yaxhk(,,0ahka为常数，且).(2)交点式(x轴)：12()()yaxxxx.(3)两根式：12()()yaxxxx，其中1x,2x是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程20axbxc0a的两个根.注意：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式2()yaxhk，抛物线的顶点坐标是(,)hk，h＝0时，抛物线2yaxk的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线2()yaxh的顶点在x轴上；当h，k＝0时，抛物线2yax的顶点在原点.(2)当抛物线2yaxbxc与x轴有交点时，即对应二次方程20axbxc有实数根1x和2x存在时，根据二次三项式的分解公式2axbxc1()axx2()xx,二次函数2yaxbxc可转化为两根式12()()yaxxxx.3、一元二次方程的解法一元二次方程的求解和应用是初中数学的重点内容，方程思想也是学习数学的一种重要思想.一元二次方程的解法以一元一次方程为基础，解一元二次方程的基本思想就是降次，把二次变为两个一元一次方程再求解.一元二次方程的一般形式为200axbxca，特点是只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程.如果不是整式方程，需要先把它整理成整式方程再进行判断.一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.下面我们将举例分析这四种方法的运用：例1用直接开方法解下面的一元二次方程.（1）2319x；（2）22324xx.分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如2(0)xmnn的方程，就可以把方程变为xmn.通过观察可以发现（1）、（2）两个小题可以用直接开方法来求解.解：（1）2319x.直接两边开方，得：3x+1=±3.（注意，不能漏了-3）.由3x+1=3得1x=23，由3x+1=-3得2x=43，∴原方程的解为：1x=23，2x=43.（2）22324xx.直接两边开方，得：324xx或324xx.由324xx得1x=3，由324xx得2x=12，∴原方程的解为：1x=3，2x=12.说明：用直接开方法解一元二次方程，一般不用把方程转化为一般形式，再两边同时开方的时候应注意方程只需在一边取正负号，还应注意不要丢解.例2用配方法解下列一元二次方程:22420xx.分析：用配方法解方程200axbxca，应先将二次项系数化为1，常数a移到方程右边，再将方程左边配成完全平方的形式.该题可变为221xx，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，配方之后，就可以按照直接开方法来解方程了.解:22420xx.二次项系数化为1，移常数项，得：221xx.配方，得：22111xx，即2(1)2x.说明：用配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后变为一边是完全平方的形式就可以用直接开方法进行解题.例3用公式法解2347xx.分析:公式法就是指利用求根公式242bbacxa，使用时应先把一元二次方程化成一般形式，确定a，b，c的值，然后代入到公式中进行计算.或者也可以先计算24bac的值，当24bac≥0时，把各项系数a，b，c的值代入求根公式即可得到方程的根.先判断解的情况之后，如果Δ0，那么可以直接省去更多的运算，方程无解.解：化为一般式：23740xx，求出判别式的值：Δ=24bac=10，代入求根公式：716x，∴11x，243x.说明：公式法是解一元二次方程的通用的方法，如果对其他方法不熟悉的情况下，都可以使用公式法来解一元二次方程，因此，这个公式一定要熟记.用公式法一定要先把方程转化为一般形式，明确公式中字母在题中所表示的量，再代入公式进行计算.注意最后的根如果有根号要化成最简形式.例4用分解因式法解26150xx.分析:分解因式法就是把方程的一边变为因式相乘的形式，另外一边的值为0，解题的方法就是让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根.一般需要先把它整理成一般形式再进行分解因式.解左边分解成两个因式的积得：（2x-3）（3x+5）=0.∴2x–3=0，3x+5=0，∴1x=32，2x=53.说明：在使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能把方程拆为两个一元一次方程达到降次的目的.4、一元二次方程解法口诀含有一个未知数，最高指数是二次；整式方程最常见，一元二次方程式。左边二次三项式，右边是零一般式。方程缺少常数项，求根提取公因式；方程没有一次项，直接开方最合适；方程如果合家欢，十字相乘先去试；分解二次常数项，叉乘求和凑中式；如能做到这一点，十字相乘根求之；否则可以去配方，自然能够套公式。三、一元二次方程的应用1、从函数图象看一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是个比较复杂的问题，我们可从数形结合的思想上来看，即从二次函数的图像来考察一元二次方程根的分布。设方程200axbxca的不等两根为12,xx且12xx，相应的二次函数为20fxaxbxc，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）.表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0120,0xx两个正根即两根都大于0120,0xx一正根一负根即一个根小于0，一个大于0120xx大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f综合结论（不讨论a）00200baaf00200baaf00fa表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即kxkx21,两根都大于k即kxkx21,一个根小于k，一个大于k即21xkx大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk