20202021学年高中数学第1章三角函数14三角函数的图象与性质142第1课时正弦余弦函数的周期性

-1-1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正弦、余弦函数的周期性与奇偶性学习目标核心素养1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点)3.掌握函数y＝sinx和y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的周期性和奇偶性，培养学生的数学抽象素养.2.通过周期性和奇偶性的学习，提升学生的直观想象素养.1．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sinxy＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数思考：函数y＝|sinx|，y＝|cosx|是周期函数吗？[提示]是，周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π.1．下列函数中，周期为π2的是()A．y＝sinx2B．y＝sin2xC．y＝cosx4D．y＝cos4xD[根据公式T＝2πω可知π2＝2πω，得ω＝4，故应选D.]-2-2．函数y＝2sin2x＋π2是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数B[y＝2sin2x＋π2＝2cos2x，它是周期为π的偶函数．]3．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝.6[由已知得f(x＋2)＝f(x)，所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝6.]三角函数的周期问题及简单应用【例1】求下列函数的周期：(1)y＝sin2x＋π4；(2)y＝|sinx|.思路点拨：(1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算．(2)作函数图象，观察出周期．[解](1)法一：(定义法)y＝sin2x＋π4＝sin2x＋π4＋2π＝sin2x＋π＋π4，所以周期为π.法二：(公式法)y＝sin2x＋π4中ω＝2，T＝2πω＝2π2＝π.(2)作图如下：观察图象可知周期为π.1．本例(2)中函数变成“y＝|cosx|”，图象如何？[解]作图如下：-3-观察图象可知周期是π.2．本例(2)中函数变成y＝sin|x|或y＝cos|x|，图象如何？[解]作图如下：由图象可知y＝sin|x|不是周期函数，y＝cos|x|的图象与y＝cosx图象相同，仍为周期函数，周期为2π.求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝2π|ω|.(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝π|ω|.[跟进训练]1．利用周期函数的定义求下列函数的周期．(1)y＝cos2x，x∈R；(2)y＝sin13x－π4，x∈R.[解](1)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.(2)因为sin13x＋6π－π4＝sin13x＋2π－π4＝sin13x－π4，由周期函数的定义知，y＝sin13x－π4的周期为6π.三角函数奇偶性的判断【例2】(1)若函数y＝2sin(x＋φ)为偶函数，则φ的值的集合为．(2)判断下列函数的奇偶性：-4-①f(x)＝sin－12x＋π2；②f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；③f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx.思路点拨：(1)结合y＝cosωx为偶函数→利用诱导公式→φ＝π2＋kπk∈Z(2)(1)φφ＝kπ＋π2，k∈Z[因为y＝cosωx为偶函数，y＝sinωx为奇函数，所以根据诱导公式“奇变偶不变”的特点，要使通过诱导公式后函数变成y＝2cosx或y＝－2cosx，只有φ＝kπ＋π2(k∈Z)．](2)[解]①显然x∈R，f(x)＝cos12x，∵f(－x)＝cos－12x＝cos12x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．②由1－sinx＞0，1＋sinx＞0，得－1＜sinx＜1，解得定义域为xx∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z，∴f(x)的定义域关于原点对称．又∵f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)，∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．③∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∴x∈R且x≠2kπ－π2，k∈Z.∵定义域不关于原点对称，-5-∴该函数是非奇非偶函数．1．判断函数奇偶性应把握好两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．[跟进训练]2．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝cos32π＋2x＋x2sinx；(2)f(x)＝1－2cosx＋2cosx－1.[解](1)f(x)＝sin2x＋x2sinx，又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin2x－x2sinx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)由1－2cosx≥0，2cosx－1≥0，得cosx＝12，∴f(x)＝0，x＝2kπ±π3，k∈Z，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.三角函数的奇偶性与周期性的综合应用[探究问题]1．一般通过什么方法研究三角函数的性质？提示：三角函数的性质可从图象上直观地反映出来，如图象的对称性，图象的升降，图象的范围等相应地反映函数的奇偶性，单调性，定义域和值域，所以解题时要通常借助图象．2．若函数y＝f(x)是周期T＝2的周期函数，也是奇函数，则f(2018)的值是多少？提示：f(2018)＝f(0＋1009×2)＝f(0)＝0.【例3】(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是()A．y＝cos|2x|B．y＝|sin2x|C．y＝sinπ2＋2xD．y＝cos3π2－2x(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当-6-x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3等于()A．－12B.12C．－32D.32思路点拨：(1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性．(2)先依据f(x＋π)＝f(x)化简f5π3；再依据f(x)是偶函数和x∈0，π2，f(x)＝sinx求值．(1)D(2)D[(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin2x|是偶函数，y＝sinπ2＋2x＝cos2x是偶函数，y＝cos3π2－2x＝－sin2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.(2)f5π3＝f5π3－π＝f2π3＝f2π3－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.]1．若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“11π12”，其他条件不变，结果如何？[解]f5π3＝f5π3－11π12×2＝f－π6＝－fπ6＝－sinπ6＝－12.2．若本例(2)中的“π”改为“π2”，去掉“f(x)是偶函数”，其他条件不变，求f－176π.[解]∵f(x)的周期为π2，∴f－176π＝f－3π＋π6＝f－6×π2＋π6＝fπ6＝sinπ6＝12.1．三角函数周期性的解题策略探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．2．与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；-7-(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．1．求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sinx|.(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0，x∈R)的周期T＝2πω.2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性．3．周期函数的定义域是一个无限集，周期有无数多个，可能存在最小正周期，也可能不存在最小正周期，如f(x)＝1，x∈R是周期函数，但不存在最小正周期．1．下列命题中不正确的是()A．由于sinπ3＋π3＝sinπ3，则π3是正弦函数y＝sinx的一个周期B．若T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N*)，也是函数f(x)的周期C．函数y＝3sin2x是奇函数D．函数y＝－cosπ3x是偶函数A[根据周期的定义可以判断A不正确，B对，再由奇偶性的判断法可判断C、D均正确．]2．函数f(x)＝2sin2x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数A[f(x)＝2sin2x的定义域为R，f(－x)＝2sin2(－x)＝－2sin2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．]-8-3．函数f(x)＝3sinπx2－π4，x∈R的最小正周期为．4[由已知得f(x)的最小正周期T＝2ππ2＝4.]4．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝.－3[由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.]5．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝－2cos3x；(2)f(x)＝xsin(x＋π)．[解](1)f(－x)＝－2cos3(－x)＝－2cos3x＝f(x)，所以f(x)＝－2cos3x为偶函数．(2)f(x)＝xsin(x＋π)＝－xsinx，所以f(－x)＝xsin(－x)＝－xsinx＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．