20202021学年高中数学第二章解三角形测评课后习题含解析北师大版必修5

1第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=60°,a=1,b=2,则sinA=()A.√B.C.√D.解析:由正弦定理得,所以sinA=√.故选C.答案:C2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2-b2=√ac,则角B的值为()A.B.C.或D.或解析:因为a2+c2-b2=√ac,所以由余弦定理得,cosB=-√,所以B=.答案:A3.在△ABC中,已知a=11,b=20,A=130°,则此三角形()A.无解B.只有一解C.有两解D.解的个数不确定解析:由A=130°,而ab,可知无解.答案:A4.在△ABC中,如果A=60°,AC=16,△ABC的面积为220√,那么BC的长度为()A.25B.51C.49√D.49解析:由S△ABC=·AB·ACsin60°=4√AB=220√,得AB=55.由余弦定理,得BC2=162+552-2×16×55×cos60°=2401,解得BC=49.答案:D5.在平行四边形ABCD中,若对角线AC=√,BD=√,周长为18,则这个平行四边形的面积是()A.16B.C.18D.32解析:设AB=CD=a,AD=BC=b,则{解得{或{所以cos∠BAD=-,所以sin∠BAD=,S=4×5×=16.答案:A26.若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,则△ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形解析:由正弦定理=2R(R为△ABC外接圆的半径)及已知条件sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,可设a=5x,b=11x,c=13x,其中x0,由余弦定理得cosC=--=-0,所以C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.答案:C7.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=√.则S△ABC=()A.√B.√C.√D.2解析:因为A,B,C成等差数列,所以A+C=2B.又A+B+C=180°,所以B=60°.又a=1,b=√,由得sinA=√√.因为ab,所以A=30°,所以C=90°.所以S△ABC=×1×√√.答案:C8.如图为起重机装置示意图.支杆BC=10m,吊杆AC=15m,吊索AB=5√m,起吊的货物与岸的距离AD为()A.30m3B.√mC.15√mD.45m解析:在△ABC中,由余弦定理,得cos∠ACB=-=-√=-,所以∠ACB=120°,所以∠ACD=180°-120°=60°.所以AD=AC·sin60°=√(m).答案:B9.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若C=120°,c=√a,则()A.abB.abC.a=bD.a与b的大小关系不能确定解析:由余弦定理,得2a2=a2+b2-2abcos120°,所以b2+ab-a2=0,即()-1=0,-√1,故ba,选A.答案:A10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,且,则cosB的值为()A.√B.C.-D.-√解析:因为,所以由正弦定理,得sinB=sin,所以2sincos=sin,因为sin≠0所以cos,所以cosB=2cos2-1=2×()-1=-,故选C.答案:C11.4如图,已知在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=√BD,BC=2BD,则sinC的值为()A.√B.√C.√D.√解析:设AB=c,则AD=c,BD=√,BC=√.在△ABD中,由余弦定理,得cosA=-,所以sinA=√.在△ABC中,由正弦定理,得√√,解得sinC=√,故选D.答案:D12.导学号33194051在△ABC中,内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,已知a=c,且满足cosC+(cos∠BAC-√·sin∠BAC)cos∠ABC=0,若点O是△ABC外一点,且OA=2OB=4,设∠AOB=θ(0θπ),则四边形OACB面积的最大值是()A.8+5√B.5+4√C.12D.4+5√解析:在△OAB中,由余弦定理,得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB=42+22-2×4×2×cosθ=20-16cosθ.在△ABC中,因为cosC+(cos∠BAC-√sin∠BAC)cos∠ABC=-cos(∠BAC+∠ABC)+cos∠BACcos∠ABC-√sin∠BACcos∠ABC=sin∠BACsin∠ABC-√sin∠BACcos∠ABC=sin∠BAC(sin∠ABC-√cos∠ABC)=0,且sin∠BAC≠0所以sin∠ABC-√cos∠ABC=0,即tan∠ABC=√,所以∠ABC=,又a=c,所以△ABC是等边三角形,所以S四边形OACB=S△OAB+S△ABC=×4×2×sinθ+√×(20-16cosθ)=4sinθ+5√-4√cosθ=8sin(-)+5√.因为0θπ,所以-θ-,所以当θ-,即θ=时,S四边形OACB取最大值,所以四边形OACB面积的最大值是8+5√.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在△ABC中,若b=2,A=120°,三角形的面积S=√,则三角形外接圆的面积为.解析:在△ABC中,b=2,A=120°,三角形的面积S=√bc·sinA=×2c×√,5所以c=2=b.所以B=C=(180°-A)=30°.由正弦定理可得=2R==4,所以三角形外接圆半径R=2,所以三角形外接圆的面积S=4π.答案:4π14.已知A船在灯塔C北偏东80°处,且A到C的距离为2km,B船在灯塔C北偏西40°,A,B两船的距离为3km,则B到C的距离为km.解析:如图,由已知条件可得∠ACB=80°+40°=120°,AC=2km,AB=3km,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,即BC2+2BC-5=0,所以BC=(√-1)km,所以B到C的距离为(√-1)km.答案:√-115.在锐角三角形ABC中,若a=2,b=3,则c的取值范围是.解析:因为△ABC为锐角三角形,所以cosA0,cosB0,cosC0,即-0,-0,-0.将a=2,b=3代入,解得√c√.答案:(√√).16.在△ABC中,已知a,b,c分别为角A,B,C所对的边,S为△ABC的面积.若向量p=(4,a2+b2-c2),q=(√,S)满足p∥q,则C=.解析:由p∥q,得4S=√(a2+b2-c2),则S=√(a2+b2-c2).由余弦定理得cosC=-,所以S=√×2abcosC=√abcosC.又由面积公式得S=absinC,所以√abcosC=absinC,所以tanC=√.又C∈(0,π),所以C=.答案:6三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.导学号33194052(本小题满分10分)在△ABC中,C=2A,a+c=20,sinA=√,求b的值.解因为0Cπ,C=2A,所以0A,所以cosA=√-.由正弦定理得=2cosA=2×.又a+c=20,所以a=8,c=12.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得,所以b=8或b=10.当b=8时,a=8,所以A=B.由C=2A,所以A=,这与cosA=矛盾,应舍去.当b=10时,满足题意,故b=10.18.(本小题满分12分)(2017天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ab,a=5,c=6,sinB=.(1)求b和sinA的值;(2)求sin()的值.解(1)在△ABC中,因为ab,故由sinB=,可得cosB=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=√.由正弦定理,得sinA=√.所以,b的值为√,sinA的值为√.(2)由(1)及ac,得cosA=√,所以sin2A=2sinAcosA=,cos2A=1-2sin2A=-.故sin()=sin2Acos+cos2Asin√.19.7(本小题满分12分)如图,在△ABC中,AB=12,AC=3√,BC=5√,点D在边BC上,且∠ADC=60°.(1)求cosC的值;(2)求线段AD的长.解(1)在△ABC中,由余弦定理得cosC=-√√-√√.(2)由题意知0Cπ,所以sinC0,所以sinC=√-√-()√,在△ADC中,根据正弦定理得,,所以AD==8.20.导学号33194053(本小题满分12分)(2017全国1高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.解(1)由题设得acsinB=,即csinB=.由正弦定理得sinCsinB=.故sinBsinC=.(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由题设得bcsinA=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=√.故△ABC的周长为3+√.21.8(本小题满分12分)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+√)海里的两个观测点,现位于点A北偏东45°,点B北偏西60°的点D有一艘轮船发出求救信号,位于点B南偏西60°,且与点B相距20√海里的点C的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达点D需要多长时间?解由题意,知AB=5(3+√)海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.在△ADB中,由正弦定理,得,所以DB=√=√=10√(海里).在△CDB中,BC=20√海里,BD=10√海里,∠DBC=60°.由余弦定理,得DC2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=(10√)2+(20√)2-2×10√×20√×cos60°=900.所以DC=30海里.故救援船到达点D需要的时间为=1(时).22.导学号33194054(本小题满分12分)(2016四川高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.(1)证明:sinAsinB=sinC;(2)若b2+c2-a2=bc,求tanB.(1)证明根据正弦定理,可设=k(k0).则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入中,有,变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,所以sinAsinB=sinC.(2)解由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cosA=-,9所以sinA=√-.由(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以sinB=cosB+sinB,故tanB==4.