20202021学年高考数学考点第八章立体几何与空间向量83直线平面平行的判定与性质理

考点8.3直线、平面平行的判定与性质1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)l∥aa⊂αl⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)l∥αl⊂βα∩β＝b⇒l∥b2．面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b概念方法微思考1．一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？提示不都平行．该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面．2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．1．（2017•新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()A．B．C．D．【答案】A【解析】对于选项B，由于//ABMQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于//ABMQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于//ABNQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选A．2．（2020•上海）在棱长为10的正方体1111ABCDABCD中，P为左侧面11ADDA上一点，已知点P到11AD的距离为3，P到1AA的距离为2，则过点P且与1AC平行的直线相交的面是()A．11AABBB．11BBCCC．11CCDDD．ABCD【答案】D【解析】如图，由点P到11AD的距离为3，P到1AA的距离为2，可得P在△1AAD内，过P作1//EFAD，且1EFAA于E，EFAD于F，在平面ABCD中，过F作//FGCD，交BC于G，则平面//EFG平面1ADC．连接AC，交FG于M，连接EM，平面//EFG平面1ADC，平面1AAC平面11ADCAC，平面1AAC平面EFMEM，1//EMAC．在EFM中，过P作//PNEM，且PNFM于N，则1//PNAC．线段FM在四边形ABCD内，N在线段FM上，N在四边形ABCD内．过点P且与1AC平行的直线相交的面是ABCD．故选D．3．（2018•江苏）在平行六面体1111ABCDABCD中，1AAAB，111ABBC．求证：（1）//AB平面11ABC；（2）平面11ABBA平面1ABC．【解析】（1）平行六面体1111ABCDABCD中，平行六面体可得每个面均为平行四边形，所以11//ABAB，11//ABAB，AB平面11ABC，11AB平面11//ABCAB平面11ABC；（2）在平行六面体1111ABCDABCD中，1AAAB，四边形11ABBA是菱形，11ABAB．在平行六面体1111ABCDABCD中，11//BCCB，1111ABBCABBC．1111111,,ABABABBCABBCBABABCBCABC面面1AB面1ABC，且1AB平面11ABBA平面11ABBA平面1ABC．1．（2020•开封三模）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点E，F分别是棱11CD，11BC的中点，P是上底面1111ABCD内一点，若//AP平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是()A．5[2，2]B．32[4，5]2C．32[8，6]2D．6[2，2]【答案】B【解析】如下图所示：分别取棱11AB、11AD的中点M、N，连接MN，连接11BD，M、N、E、F为所在棱的中点，11//MNBD，11//EFBD，//MNEF，又MN平面BDEF，EF平面BDEF，//MN平面BDEF；连接NF，由11//NFAB，11NFAB，11//ABAB，11ABAB，可得//NFAB，NFAB，则四边形ANFB为平行四边形，则//ANFB，而AN平面BDEF，FB平面BDEF，则//AN平面BDEF．又ANNMN，平面//AMN平面BDEF．又P是上底面1111ABCD内一点，且//AP平面BDEF，P点在线段MN上．在Rt△1AAM中，221115142AMAAAM，同理，在Rt△1AAN中，求得52AN，则AMN为等腰三角形．当P在MN的中点时，AP最小为222321()44，当P与M或N重合时，AP最大为22151()22．线段AP长度的取值范围是32[4，5]2．故选B．2．（2020•沈阳三模）设，为两个不重合的平面，能使//成立的是()A．内有无数条直线与平行B．内有两条相交直线与平行C．内有无数个点到的距离相等D．，垂直于同一平面【答案】B【解析】对于A，内有无数条直线与平行，如两个相交平面，可以找出无数条平行于交线的直线，所以A错误；对于B，内有两条相交直线与平行，根据两平面平行的判定定理知，//，所以B正确；对于C，内有无数个点到的距离相等，如两个相交平面，可以找出无数条直线平行于平面，所以也能得出无数个点到平面的距离相等，C错误；对于D，当、垂直于同一个平面时，与也可以相交，所以D错误．故选B．3．（2020•安阳二模）已知正方体1111ABCDABCD中，E，H分别为1DD，AB的中点，点F，G分别在线段BC，1CC上，且14CFCGBC，则在F，G，H这三点中任取两点确定的直线中，与平面ACE平行的条数为()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】作出图形如下所示，取CE的中点I，可知//AIGH，又GH平面ACE，AI平面ACE，故//GH平面ACE，又HF，GF均不与平面ACE平行，故在F，G，H这三点中任取两点确定的直线中，与平面ACE平行的条数为1．故选B．4．（2020•浦东新区二模）如图，正方体1111ABCDABCD中，E、F分别为棱1AA、BC上的点，在平面11ADDA内且与平面DEF平行的直线()A．有一条B．有二条C．有无数条D．不存在【答案】C【解析】由题设知平面11ADDA与平面DEF有公共线DE，则在平面11ADDA内与DE平行的线有无数条，且它们都不在平面DEF内，由线面平行的判定定理知它们都与面DEF平行，故选C．5．（2020•重庆模拟）如图，四棱柱1111ABCDABCD中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，1DD上，且112DEDFEBFD，G在1CC上且平面//AEF平面1BDG，则1(CGCC)A．12B．13C．23D．14【答案】B【解析】四棱柱1111ABCDABCD中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，1DD上，且112DEDFEBFD，1//EFBD，平面11//ADDA平面11BCCB，G在1CC上，BG平面1BDG，且平面//AEF平面1BDG，//AFBG，1113CGDECCDD．故选B．6．（2020•番禺区模拟）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则//的一个充分条件是()A．存在一条直线a，//a，//aB．存在一条直线a，a，//aC．存在两条平行直线a、b，a，b，//a，//bD．存在两条异面直线a、b，a，b，//a，//b【答案】D【解析】对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确．故选D．7．（2020•武汉模拟）设、、为平面，a、b为直线，给出下列条件：①a、b，//a，//b；②//，//；③，；④a，b，//ab．其中能使//成立的条件是()A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】C【解析】①若a、b，//a，//b，由面面平行的判断定理与定义可得：可能//或者与相交．所以①错误．②若//，//，由平面与平面平行的传递性可得：//．所以②正确．③若，，则由平面与平面的位置关系可得：可能//或者与相交．所以③错误．④若a，//ab，由线面垂直的定义可得：b，又因为b，所以//．所以④正确．故选C．8．（2020•天河区一模）如图所示，在棱长为a的正方体1111ABCDABCD中，E是棱1DD的中点，F是侧面11CDDC上的动点，且1//BF面1ABE，则F在侧面11CDDC上的轨迹的长度是()A．aB．2aC．2aD．22a【答案】D【解析】设G，H，I分别为CD、1CC、11CD边上的中点则1ABEG四点共面，且平面1//ABGE平面1BHI又1//BF面1ABE，F落在线段HI上，正方体1111ABCDABCD中的棱长为a，11222HICDa．即F在侧面11CDDC上的轨迹的长度是22a．故选D．9．（2020•黑龙江二模）在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为11BC，11CD的中点，点P是上底面1111ABCD内一点，且//AP平面EFDB，则1cosAPA的最小值是()A．22B．55C．13D．223【答案】C【解析】连结AC、BD，交于点O，连结11AC，交EF于M，连结OM，设正方形1111ABCDABCD中棱长为1，在正方形1111ABCDABCD中，E，F分别为11BC，11CD的中点，点P是底面1111ABCD内一点，且//AP平面EFDB，AO//PM，11244ACAPCM，11221122144cos3118APAPAAPAPAA，即1cosAPA的最小值是13．故选C．10．（2020•全国模拟）正方体1111ABCDABCD的棱长为1，E，F，G分别为BC，1CC，1BB的中点．则()A．直线1DD与直线AF垂直B．直线1AG与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为98D．点C与点G到平面AEF的距离相等【答案】BC【解析】取1DD中点M，则AM为AF在平面11AADD上的射影，AM与1DD不垂直，AF与1DD不垂直，故A错；取11BC中点N，连接1AN，GN，可得平面1//AGN平面AEF，故B正确；把截面AEF补形为四边形1AEFD，由等腰梯形计算其面积98S，故C正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立，故D错．故选BC．11．（2020•金安区校级模拟）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点M，N分别是棱BC，1CC的中点，则点1A到平面AMN的距离是__________；若动点P在正方形11BCCB（包括边界）内运动，且1//PA平面AMN，则线段1PA的长度范围是__________．【答案】43，32[2，5]【解析】取11BC的中点E，1BB的中点F，连接1AE，1AF，EF，FM，则1//AEAM，//EFMN，平面1//AEF平面AMN，1A到平面AMN的距离等于F到平面AMN的距离，正方体棱长为2，5AM，2MN，3AN，5922cos2535MAN，1sin5MAN，11353