20202021学年高考数学考点第十一章计数原理随机变量及其分布113二项式定理理

1考点11.3二项式定理1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)二项展开式的通项公式Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示第k＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，Cnn2.二项式系数的性质(1)C0n＝1，Cnn＝1，Cmn＋1＝Cm－1n＋Cmn.Cmn＝Cn－mn(0≤m≤n)．(2)二项式系数先增后减中间项最大．当n为偶数时，第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为2Cnn，当n为奇数时，第n＋12项和第n＋32项的二项式系数最大，最大值为12Cnn或12Cnn.(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.概念方法微思考1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？提示(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．2．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．1．（2020•北京）在5(2)x的展开式中，2x的系数为（）A．5B．5C．10D．10【答案】C【解析】5(2)x的展开式中，通项公式为5215(2)rrrrTCx，2令522r，求得1r，可得2x的系数为15(2)10C，故选C．2．（2020•新课标Ⅰ）25()()yxxyx的展开式中33xy的系数为（）A．5B．10C．15D．20【答案】C【解析】因为22255()()()()yxyxyxxyxx；要求展开式中33xy的系数即为求225()()xyxy展开式中43xy的系数；展开式含43xy的项为：2223244435515xCxyyCxyxy；故25()()yxxyx的展开式中33xy的系数为15；故选C．3．（2019•全国）6(21)x的展开式中x的系数是（）A．120B．60C．30D．15【答案】B【解析】由二项式6(21)x的展开式的通项为6662166(2)2rrrrrrTCxCx，令612r，解得4r，则6(21)x的展开式中x的系数是246260C，故选B．4．（2019•新课标Ⅲ）24(12)(1)xx的展开式中3x的系数为（）A．12B．16C．20D．24【答案】A【解析】24(12)(1)xx的展开式中3x的系数为：3311133414311121112CCCC．故选A．35．（2018•新课标Ⅲ）252()xx的展开式中4x的系数为（）A．10B．20C．40D．80【答案】C【解析】由二项式定理得252()xx的展开式的通项为：251031552()()2rrrrrrrTCxCxx，由1034r，解得2r，252()xx的展开式中4x的系数为225240C．故选C．6．（2017•新课标Ⅰ）621(1)(1)xx展开式中2x的系数为（）A．15B．20C．30D．35【答案】C【解析】621(1)(1)xx展开式中：若221(1)(1)xx提供常数项1，则6(1)x提供含有2x的项，可得展开式中2x的系数：若21(1)x提供2x项，则6(1)x提供含有4x的项，可得展开式中2x的系数：由6(1)x通项公式可得6rrCx．可知2r时，可得展开式中2x的系数为2615C．可知4r时，可得展开式中2x的系数为4615C．621(1)(1)xx展开式中2x的系数为：151530．故选C．7．（2017•新课标Ⅲ）5()(2)xyxy的展开式中的33xy系数为（）A．80B．40C．40D．80【答案】C【解析】5(2)xy的展开式的通项公式：555155(2)()2(1)rrrrrrrrrTxyxy痧．令52r，3r，解得3r．令53r，2r，解得2r．45()(2)xyxy的展开式中的33xy系数23332552(1)2140痧．故选C．8．（2020•浙江）二项展开式52345012345(12)xaaxaxaxaxax，则4a__________，135aaa__________．【答案】80；122【解析】5234512345(12)0xaxaxaxaxax，则4445280aC．1351355552832122aaaCCC．故答案为：80；122．9．（2020•上海）已知二项式5(2)xx，则展开式中3x的系数为__________．【答案】10【解析】41435(2)()10Cxxx，所以展开式中3x的系数为10．故答案为：10．10．（2020•新课标Ⅲ）262()xx的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240【解析】由于262()xx的展开式的通项公式为123162rrrrTCx，令1230r，求得4r，故常数项的值等于4462240C，故答案为：240．11．（2020•天津）在522()xx的展开式中，2x的系数是__________．【答案】10【解析】522()xx的展开式的通项公式为15rrTC5rx2r22rrx5rC53rx，令532r，得1r，2x的系数是15210C，故答案为10．12．（2019•上海）已知二项式5(21)x，则展开式中含2x项的系数为__________．【答案】405【解析】二项式5(21)x的展开式的通项公式为55152rrrrTCx，令52r，求得3r，可得展开式中含2x项的系数值为325240C，故答案为：40．13．（2019•天津）831(2)8xx的展开式中的常数项为__________．【答案】28【解析】由题意，可知：此二项式的展开式的通项为：888188833111(2)()2()()(1)288rrrrrrrrrrrTCxCxCxx8484rrx．当840r，即2r时，1rT为常数项．此时22218(1)2TC84228．故答案为：28．14．（2019•浙江）在二项式9(2)x展开式中，常数项是162，系数为有理数的项的个数是__________．【答案】162，5【解析】二项式9(2)x的展开式的通项为992199(2)2rrrrrrrTCxCx．由0r，得常数项是1162T；当1r，3，5，7，9时，系数为有理数，系数为有理数的项的个数是5个．故答案为：162，5．15．（2019•上海）在61()xx的展开式中，常数项等于__________．【答案】15【解析】61()xx展开式的通项为36216rrrTCx令3602r得2r，故展开式的常数项为第3项：2615C．故答案为：15．616．（2018•全国）多项式34(1)(1)xx中2x的系数为__________．（用数字填写答案）【答案】9【解析】多项式34(1)(1)xx中2x的系数，即为3(1)x和4(1)x中2x的系数之和，为22349CC，故答案为：9．17．（2018•天津）在51()2xx的展开式中，2x的系数为__________．【答案】52【解析】51()2xx的二项展开式的通项为1035215511()()22rrrrrrrTCxCxx．由10322r，得2r．2x的系数为22515()22C．故答案为：52．18．（2018•浙江）二项式831()2xx的展开式的常数项是__________．【答案】7【解析】由8483318811()()()22rrrrrrrTCxCxx．令8403r，得2r．二项式831()2xx的展开式的常数项是2281()72C．故答案为：7．19．（2018•上海）设aR，若29922()()axxxx与的二项展开式中的常数项相等，则a__________．【答案】4【解析】292()xx的展开式的通项为291831992()()2rrrrrrrTCxCxx，由1830r，得6r．292()xx的展开式中的常数项为6964C．92()axx的展开式的通项为9931992()rrrrrrraTCxaCxx，7由930r，得3r．92()axx的展开式的常数项为339aC．由6339964CaC，得4a．故答案为：4．20．（2018•上海）在7(1)x的二项展开式中，2x项的系数为__________（结果用数值表示）．【答案】21【解析】二项式7(1)x展开式的通项公式为17rrrTCx，令2r，得展开式中2x的系数为2721C．故答案为：21．21．（2017•全国）6(2)x的展开式中5x的系数是__________．（用数字填写答案）【答案】12【解析】6(2)x的展开式中的通项公式为616(2)rrrrTCx，令65r，求得1r，可得5x的系数是16(2)12C，故答案为：12．22．（2017•浙江）已知多项式32543212345(1)(2)xxxaxaxaxaxa，则4a__________，5a__________．【答案】16；4【解析】多项式32543212345(1)(2)xxxaxaxaxaxa，3(1)x中，x的系数是：3，常数是1；2(2)x中x的系数是4，常数是4，4341416a；5144a．故答案为：16；4．23．（2017•山东）已知(13)nx的展开式中含有2x的系数是54，则n__________．8【答案】4【解析】(13)nx的展开式中通项公式：1(3)3rrrrrrnnTxx痧．含有2x的系数是54，2r．22354nð，可得26nð，(1)62nn，*nN．解得4n．故答案为：4．24．（2017•上海）若2()nxx的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为__________．【答案】160【解析】令1x，由题意可得：3729n，解得6n．展开式的通项公式为：62162rrrrTCx，令620r，解得3r，其展开式中常数项820160，故答案为：160．25．（2019•江苏）设2012(1)nnnxaaxaxax，4n…，*nN．已知23242aaa．（1）求n的值；（2）设(13)3nab，其中a，*bN，求223ab的值．【解析】（1）由0122(1)nnnnnnnxCCxCxCx，4n…，可得22(1)2nnnaC，33(1)(2)6nnnnaC，44(1)(2)(3)24nnnnnaC，23242aaa，可得2(1)(2)(1)(1)(2)(3)()26224nnnnnnnnn，解得5n；（2）方法一、50122334455555555(13)3(3)(3)(3)(3)3CCCCCCab，由于a，*bN，可得024555391304576aCCC，1355553944bCCC，可得222237634432ab；方法二、50122334455555555(13)3(3)(3)(3)(3)3CCCCCCab，950122334455555555(13)(3)(3)(3)(3)(3)CCCCCC