2020年江西省高考数学(理科)模拟试卷(1)

第1页（共17页）2020年江西省高考数学（理科）模拟试卷（1）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足𝑧⋅𝑖3+2𝑖=1−𝑖，则𝑧=（）A．1+5iB．﹣1﹣5iC．1﹣5iD．﹣1+5i2．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5}3．（5分）某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A．72.5B．75C．77.5D．804．（5分）已知双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的离心率𝑒=53，且其虚轴长为8，则双曲线C的方程为（）A．𝑥24−𝑦23=1B．𝑥29−𝑦216=1C．𝑥23−𝑦24=1D．𝑥216−𝑦29=15．（5分）如图，在△ABC中，𝐴𝐷→=58𝐴𝐶→，𝐵𝑃→=25𝑃𝐷→，若𝐴𝑃→=𝜆𝐴𝐵→+𝜇𝐴𝐶→，则𝜇𝜆的值为（）A．1112B．34C．14D．796．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）第2页（共17页）A．163cm3B．4cm3C．43cm3D．83cm37．（5分）随机变量X服从正态分布N（1，σ2）且P（0＜X≤1）＝0.4，则P（X＞2）＝（）A．0.4B．0.1C．0.6D．0.28．（5分）已知函数f（x）=√3sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为偶函数，且在[0，𝜋2]上为增函数，则θ的一个值可以是（）A．𝜋6B．𝜋3C．2𝜋3D．−2𝜋39．（5分）若函数f（x）＝lnx（x＞0）与函数g（x）＝x2+a有公切线，则实数a的最小值为（）A．−12𝑙𝑛2−12B．﹣ln2﹣1C．−12D．﹣ln210．（5分）若函数f（x）＝lg（x﹣1）+lg（3﹣x）﹣lg（a﹣x）只有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．1＜a≤3或a=134B．3≤a＜134C．a≤1或a=134D．a＞13411．（5分）已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A、B两点，线段AB的中点为M（2，1），则直线l的方程为（）A．2x﹣y﹣3＝0B．2x﹣y﹣5＝0C．x﹣2y＝0D．x﹣y﹣l＝012．（5分）在等差数列{an}中，若a1+a2+a3＝3，a5＝9，则a8的值是（）A．15B．16C．17D．18二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）第3页（共17页）13．（5分）如果x+x2+x3+……+x9+x10＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+……+a9（1+x）9+a10（1+x）10，则a9＝，a10＝．14．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=12，a42＝a6，则S4＝．15．（5分）不等式2x2﹣3|x|﹣35＞0的解集为．16．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，BC＝CD＝2，BC⊥CD，AB＝AD＝AC=√6，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AB＝2BC，M为A1D的中点．（1）证明：CM∥平面AA1B1B；（2）若四边形AA1B1B是菱形，且面AA1B1B⊥面ABCD，∠𝐵1𝐵𝐴=𝜋3，求二面角A1﹣CM﹣A的余弦值．18．（12分）已知椭圆G：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0），上顶点为B（0，1），离心率为√22，直线l：y＝kx﹣2交y轴于C点，交椭圆于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求证：S△BOM•S△BCN为定值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3（a2+b2﹣c2）•sinC﹣acosB＝bcosA﹣c．（Ⅰ）证明：△ABC是直角三角形；（Ⅱ）若c＝2，求△ABC周长的最大值．20．（12分）某校辩论队计划在周六、周日各参加一场辩论赛，分别由正、副队长负责，已知该校辩论队共有10位成员（包含正、副队长），每场比赛除负责人外均另需3位队员（同一队员可同时参加两天的比赛，正、副队长只能参加一场比赛）．假设正副队长分别第4页（共17页）将各自比赛通知的信息独立、随机地发给辩论队8名队员中的3位，且所发信息都能收到．（1）求辩论队员甲收到队长或副队长所发比赛通知信息的概率；（2）记辩论队收到正副队长所发比赛通知信息的队员人数为随机变量X，求X的分布列及其数学期望．21．（12分）已知函数f（x）=12𝑥2−ax+（a﹣1）lnx．（1）当a＞l时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝0时，令F（x）＝2f（x）﹣xlnx+2lnx+2，是否存在区间[m，n]⊆（1，+∞），使得函数F（x）在区间[m，n]上的值域为[k（m十2），k（n+2）]，若存在，求实数k的取值范围；若不存在，说明理由．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{𝑥=1+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=𝑠𝑖𝑛𝛼（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝1，直线l的极坐标方程为𝜃=𝜋4(𝜌∈𝑅)．（1）求：①曲线C1的普通方程；②曲线C2与直线l交点的直角坐标；（2）设点M的极坐标为(6，𝜋3)，点N是曲线C1上的点，求△MON面积的最大值．五．解答题（共1小题）23．设函数f（x）＝|x+a2+3|+|x﹣2a|．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＞3的解集；（2）证明：f（x）≥2，并指出等号的成立条件．第5页（共17页）2020年江西省高考数学（理科）模拟试卷（1）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足𝑧⋅𝑖3+2𝑖=1−𝑖，则𝑧=（）A．1+5iB．﹣1﹣5iC．1﹣5iD．﹣1+5i【解答】解：因为𝑧⋅𝑖3+2𝑖=1−𝑖，所以z•i＝（1﹣i）•（3+2i）＝5﹣i，所以𝑧=−1−5𝑖，𝑧−1+5𝑖，故选：D．2．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，∴A∩B＝{x∈N|1＜x＜5}＝{2，3，4}．故选：C．3．（5分）某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A．72.5B．75C．77.5D．80【解答】解：由频率分布直方图得：[50，70）的频率为：（0.010+0.030）×10＝0.4，[70，80）的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+0.5−0.40.4×10=72.5．第6页（共17页）故选：A．4．（5分）已知双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的离心率𝑒=53，且其虚轴长为8，则双曲线C的方程为（）A．𝑥24−𝑦23=1B．𝑥29−𝑦216=1C．𝑥23−𝑦24=1D．𝑥216−𝑦29=1【解答】解：双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的离心率𝑒=53，且其虚轴长为8，由{𝑒=𝑐𝑎=532𝑏=8𝑐2=𝑎2+𝑏2，得{𝑎=3𝑏=4𝑐=5．可得𝑥29−𝑦216=1．故选：B．5．（5分）如图，在△ABC中，𝐴𝐷→=58𝐴𝐶→，𝐵𝑃→=25𝑃𝐷→，若𝐴𝑃→=𝜆𝐴𝐵→+𝜇𝐴𝐶→，则𝜇𝜆的值为（）A．1112B．34C．14D．79【解答】解：由𝐵𝑃→=25𝑃𝐷→可知𝐵𝑃→=27𝐵𝐷→．𝐴𝑃→=𝐴𝐵→+𝐵𝑃→=𝐴𝐵→+27𝐵𝐷=𝐴𝐵→+27(𝐴𝐷→−𝐴𝐵→)=𝐴𝐵→+27(58𝐴𝐶→−𝐴𝐵→)=57𝐴𝐵→+528𝐴𝐶→∴𝜆=57，𝜇=528第7页（共17页），𝜇𝜆=14，故选：C．6．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．163cm3B．4cm3C．43cm3D．83cm3【解答】解：由三视图可得几何体为如图所示的棱长为2的正方体内四棱锥P﹣ABCD为三视图表示的几何体，B，C为棱的中点，VP﹣ABCD＝VC﹣PAB+VC﹣PAD=13[12⋅2⋅2⋅2+12⋅2⋅2⋅2]=83，故选：D．7．（5分）随机变量X服从正态分布N（1，σ2）且P（0＜X≤1）＝0.4，则P（X＞2）＝（）A．0.4B．0.1C．0.6D．0.2【解答】解：随机变量X服从正态分布N（1，σ2）且P（0＜X≤1）＝0.4，则P（X＞2）=1−2𝑃(0＜𝑋≤1)2=0.1故选：B．第8页（共17页）8．（5分）已知函数f（x）=√3sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为偶函数，且在[0，𝜋2]上为增函数，则θ的一个值可以是（）A．𝜋6B．𝜋3C．2𝜋3D．−2𝜋3【解答】解：根据题意，f（x）=√3sin（2x+φ）+cos（2x+φ），＝2[√32sin（2x+φ）+12cos（2x+φ）]，＝2sin（2x+φ+𝜋6），若f（x）为偶函数，则有φ+𝜋6=kπ+12𝜋，即φ＝kπ+13𝜋，k∈Z，结合选项可知，当k＝﹣1时，φ=−2𝜋3，f（x）＝2sin（2x−12𝜋）＝﹣2cos2x满足偶函数且在[0，𝜋2]上为增函数，满足题意．故选：D．9．（5分）若函数f（x）＝lnx（x＞0）与函数g（x）＝x2+a有公切线，则实数a的最小值为（）A．−12𝑙𝑛2−12B．﹣ln2﹣1C．−12D．﹣ln2【解答】解：设函数f（x）＝lnx（x＞0）与函数g（x）＝x2+a切点分别（x0，lnx0），（𝑥1，𝑥12+𝑎）．且𝑓′(𝑥0)=1𝑥0，g′（x1）＝2x1故两切线方程为𝑦−𝑙𝑛𝑥0=1𝑥0(𝑥−𝑥0)；𝑦−(𝑥12+𝑎)=2𝑥1(𝑥−𝑥1)𝑦=1𝑥0𝑥+𝑙𝑛𝑥0−1y=2𝑥1𝑥−𝑥12+𝑎两切线相等所以{1𝑥0=2𝑥1𝑙𝑛𝑥0−1=−𝑥12+𝑎消去x0后得：𝑎=𝑥12−𝑙𝑛𝑥1−1−𝑙𝑛2（x1＞0）令h（x）＝x2﹣lnx﹣1﹣ln2（x＞0），ℎ′(𝑥)=2𝑥−1𝑥=2𝑥2−1𝑥，令ℎ′(𝑥)=0得𝑥=√22易知𝑥∈(0，√22)时，ℎ′(𝑥)＜0；𝑥∈(√22，+∞)时，h′（x）＞0故h（x）在区间（0，√22）上递减，在（√22，+∞）递增．所以ℎ(𝑥)𝑚𝑖𝑛=ℎ(√22)=−12𝑙𝑛2−12故选：A．第9页（共17页）10．（5分）若函数f（x）＝lg（x﹣1）+lg（3﹣x）﹣lg（a﹣x）只有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．1＜a≤3或a=134B．3≤a＜134C．a≤1或a=134D．a＞134【解答】解：原题等价于{，当△＝0时，𝑎=134，𝑥=52；当△＞0，即𝑎＜134时，令g（x）＝x2﹣5x+a+3，满足{𝑔(1)＞0𝑔(3)≤0，解得1＜a≤3．综上，实数a的取值范围为1＜a≤3或𝑎=134．故选