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2019-2020学年江西省新余市高三(上)期末试卷数学(理科)题号一二三总分得分一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知全集U=R,集合A={x|x(x-2)≤0},B={-1,0,1,2,3},则(∁UA)∩B=()A.{-1}B.{-1,3}C.{1,2,3}D.{-1,0,2,3}2.复数z满足,则复数z的共轭复数的虚部为()A.B.C.D.3.鸡兔同笼,是中国古代著名的趣味题之一.《孙子算经》中就有这样的记载:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各有几何?设计如图的算法来解决这个问题,则判断框中应填人的是()A.m>94?B.m=94?C.m=35?D.m≤35?4.函数f(x)=x2+e|x|的图象只可能是()A.B.C.D.5.若x,y满足x+1≤y≤x,则y-2x的最大值是()A.-2B.2C.-1D.10.1,则()6.设a=log43,b=log86,c=2A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a7.函数的最小正周期是3π,则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是()第1页,共17页A.B.C.D.8.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上,侧棱PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=2,若以P为球心且1为半径的球与三棱锥P-ABC公共部分的体积为V1,球O的体积为V2,则的值为()A.B.C.D.9.今年4月,习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作,为了进一步解决“两不愁,三保障”的突出问题,当地安排包括甲、乙在内的5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进行调研,要求每个乡镇至少安排一名专家,则甲、乙两名专家安排在不同乡镇的概率为A.B.C.D.10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2,过原点的直线与双曲线C交于A,B两点,若∠AF2B=60°,△ABF2的面积为,则双曲线的渐近线方程为()A.y=B.y=±2xC.y=D.y=11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,且点O满足=,2asinCcosB=asinA-bsinB+,,则△ABC的面积为()A.B.C.D.12.已知函数f(x)=x2++a(x<0),g(x)=lnx(x>0),其中a∈R.若f(x)的图象在点A(x1,f(x1))处的切线与g(x)的图象在点B(x2,g(x2))处的切线重合,则a的取值范围是()A.(-1+ln2,+∞)B.(-1-ln2,+∞)C.D.(ln2-ln3,+∞)二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.中国古代数学专家(九章算术)中有这样一题:今有男子善走,日增等里,九日走1260里,第一日,第四日,第七日所走之和为390里,则该男子的第三日走的里数为______.14.在(1+x)•(1+2x)5的展开式中,x4的系数为______(用数字作答)15.若tanα=3,则的值为______.16.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出,今有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行x轴的光线射向抛物线上的点P,经过抛物线的焦点F反射后射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行x轴方向射出,若两平行光线间的最小距离为6,则此抛物线的方程为______.三、解答题(本大题共7小题,共84.0分)第2页,共17页17.已知{an}是首项为1的等比数列,各项均为正数,且a2+a3=12.(1)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.18.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AD∥BC,AB=BC=PA=1,AD=2,∠PAD=∠DAB=∠ABC=90°,点E在棱PC上,且CE=λCP(0<λ<1).(1)求证:CD⊥AE.(2)是否存在实数λ,使得二面角C-AE-D的余弦值为?若存在,求出实数λ的值;若不存在,请说明理由.19.为庆祝党的98岁生日,某高校组织了“歌颂祖国,紧跟党走”为主题的党史知识竞赛.从参加竞赛的学生中,随机抽取40名学生,将其成绩分为六段[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a的值及样本的中位数与众数;(2)若从竞赛成绩在[70,75)与[95,100]两个分数段的学生中随机选取两名学生,设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M,求事件M发生的概率.(3)为了激励同学们的学习热情,现评出一二三等奖,得分在[95,100]内的为一等奖,得分在[90,95)内的为二等奖,得分在[85,90)内的为三等奖.若将频率视为概率,现从考生中随机抽取三名,设ξ为获得三等奖的人数,求ξ的分布列与数学期望.第3页,共17页20.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点A(2,0),离心率为,O为坐标原点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设P,Q,R为椭圆C上的三点,OQ与PR交于点M,且=3,当PR的中点恰为点M时,判断△OPR的面积是否为常数,并说明理由.21.已知函数f(x)=xex-1-a(x+lnx),a∈R.(1)若f(x)存在极小值,求实数a的取值范围;2-x03).(2)设x0是f(x)的极小值点,且f(x0)≥0,证明:f(x0)≥2(x022.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),直线C2的普通方程为y=.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;(2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求.第4页,共17页23.已知,,,且.证明:(1);(2).第5页,共17页答案和解析1.【答案】B【解析】解:A=[0,2],∁UA=(-∞,0)∪(2,+∞),(∁UA)∩B={-1,3}.故选:B.求出A,再求补集,交集.本题考查集合交并补的运算,属于基础题.2.【答案】A【解析】解:∵,∴,∴,其虚部为.故选:A.把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,然后利用共轭复数的概念得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.3.【答案】B【解析】解:由题意知:i为鸡的数量,j为兔的数量,m为足的数量,根据题意,在程序框图中,当计算足的数量为94时,算法结束.因此判断框中应填入“m=94”.故选:B.Bi为鸡的数量,j为兔的数量,m为足的数量,根据题意可得判断条件.本题主要考查算法程序框图中判断条件的填写,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题目.4.【答案】C【解析】解:因为对于任意的x∈R,f(x)=x2+e|x|>0恒成立,所以排除A,B,由于f(0)=02+e|0|=1,则排除D,故选:C.由f(x)>0恒成立,可排除AB,由f(0)=1,可排除D,由此得到正确选项.本题考查由函数解析式确定函数图象,考查读图识图能力,解决这类题的一般方法是从单调性,奇偶性,特殊点等角度,运用排除法求解,属于基础题.5.【答案】A第6页,共17页【解析】解:作出实数x,y满足不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):令z=-2x+y,则y=2x+z,由图可知当直线y=2x过点A(2,2)时,z最大,即-2x+y取最大值为-4+2=-2,故选:A.作出x,y满足的可行域,利用z的几何意义即可解答.本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用结合数形结合是解决本题的关键.属于基础题.6.【答案】D【解析】解:由指数函数y=2x在R上单调递增,得20.1>20,即c>1,由对数函数y=log4x,y=log8x在(0,+∞)上单调递增,得:log41<log43<log44,log81<log86<log88,即0<a<1,0<b<1,∴c最大,又∵a=log43=log23=log2,b=log86=3log26=log2,且,∴a<b,∴c>b>a,故选:D.先利用指数函数、对数函数单调性得出,c>1,0<a<1,0<b<1,只需再比较a与b的大小,再把a与b化为同底数的对数,利用对数函数的单调性即可比较出a与b的大小关系.本题主要考查了对数值大小的比较,是基础题.7.【答案】D【解析】解:函数的最小正周期是3π,则:,解得:ω=,所以:,其图象向左平移个单位长度后得到的函数,第7页,共17页g(x)=4sin()=4sin()令:(k∈Z),解得:x=(k∈Z),当k=1时,解得:x=,故选:D.直接利用函数的周期求出函数的关系式,进一步利用整体思想的应用求出结果.本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数性质的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.8.【答案】B【解析】解:根据题意,球O的半径为=,所以V2==4π,3=,而V1=××1则=,故选:B.根据条件可知球O的直径为三棱锥P-ABC所在长方体的体对角线,进而求出球O的体积V2,半径为1的球与三棱锥P-ABC公共部分的体积为该球体积的八分之一,进而可求出V1.本题考查立体几何球体积计算公式,考查外接球体积公式等知识,考查了空间想象能力,考查了计算能力,属于中档题.9.【答案】A【解析】解:依题意,5名专家所有的安排方式可以分为三个乡镇的专家数分别为3,1,1和2,2,1两类,所以所有的安排方法共有+=150种,甲、乙两名专家安排在同一乡镇的方法有+=36种,所以甲、乙两名专家安排在不同乡镇的方法共有150-36=114种,所以甲、乙两名专家安排在不同乡镇的概率为P==.故选:A.计算出所有的安排方法,以及甲乙安排在同一乡镇的方法,即可得到甲、乙两名专家安排在不同乡镇的概率.本题考查分步、分类计数原理的应用,注意优先分析受到限制的元素,属于基础题.10.【答案】D第8页,共17页【解析】【分析】本题考查了双曲线的定义和性质,渐近线方程求法,余弦定理的简单应用,属于中档题.连接AF1,BF1,则四边形AF2BF1为平行四边形;根据双曲线定义及△ABF2的面积求得|BF1|,|BF2|,再在△BF1F2中应用余弦定理即可求得a,c的关系,进而利用双曲线中a,b,c的关系求得渐近线方程.【解答】解:根据题意,连接AF1,BF1,则四边形AF2BF1为平行四边形,设|AF2|=x,则|BF1|=x,|BF2|=x+2a,2,∠AF2B=60°,∵△ABF2的面积为a∴a2=x(x+2a)•,化简得x2+2ax-4a2=0,解得x=(-1)a,或x=(--1)a(舍),所以|BF2|=(+1)a,2=(-1)2a2+(+1)2a2-2(+1)在△BF1F2中,|F2F1|=2c,由余弦定理可得:4c(-1)a2•(-),化简可得c2=4a2,由双曲线中c2=a2+b2,可得b2=3a2,即=±,所以渐近线方程为y=±x.故选:D.11.【答案】D【解析】解:由,可得,即.又,所以b=4.因为=,所以点O为△ABC的重心,所以=3,所以=3,两边平方得,=-6|||cos∠CAO+,因为,所以,=-6|||×+,于是-9||-4=0,所以||=,△AOC的面积为=.第9页,共17页因为△ABC的面积是△AOC面积的3倍.故△ABC的面积为.故选:D.由已知结合余弦定理可求b,然后结合重心的性质及向量数量积的性质可求AO,然后根据三角形的面积公式可求.本题主要考查了余弦定理,三角形重心的性质及向量数量积的性质及三角形的面积公式的应用,属于中档试题.12.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查数学转化思想方法,训练了利用导数求最值,是较难题.由题意知,x1<0<x2,分别求出函数f(x)在点A处的切线方程与g(x)在点B处的2-1=-ln+()切线方程,整理后由斜率相等且在y轴上的截距相等可得a=lnx2+()2-1,令t=,则t>0,且a=t2-t-lnt,然后利用导数求h(t)=t2-t-lnt的最小值,则答案可求.【解答】解:由题意知,x1<0<x2
本文标题:2020届江西省新余市高三第一学期期末试卷数学(理科)(PDF版)
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