20202021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程22222双曲线的简单几何性质教师用书教案新人教A版

-1-2.2.2双曲线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)1．通过学习双曲线的简单几何性质，培养学生的直观想象素养.2.借助双曲线的几何性质解题，培养逻辑推理、数学运算的素养.1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝ca1渐近线y＝±baxy＝±abx思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示](1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝c2a2＝1＋b2a2，ba是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝2.-2-1．双曲线x216－y2＝1的顶点坐标是()A．(4,0)，(0,1)B．(－4,0)，(4,0)C．(0,1)，(0，－1)D．(－4,0)，(0，－1)B[由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]2．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是()A．x225－y29＝1B．x225－y29＝1或y225－x29＝1C．x2100－y236＝1D．x2100－y236＝1或y2100－x236＝1B[由题意可知2a＝10,2b＝6，即a＝5，b＝3，∴双曲线的标准方程为x225－y29＝1或y225－x29＝1，故选B．]3．若点M(x0，y0)是双曲线x216－y225＝1上任意一点，则x0的取值范围是________，y0的取值范围是________；该双曲线的渐近线方程为________，离心率为________．(－∞，－4]∪[4，＋∞)Ry＝±54x414[由x2016－y2025＝1得x2016≥1，即x0≥4或x0≤－4，y0∈R.渐近线方程为y＝±54x，离心率e＝ca＝1＋b2a2＝414.]双曲线的几何性质【例1】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[思路点拨]先将双曲线的方程化为标准方程，再研究其性质．[解]双曲线的方程化为标准形式是x29－y24＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝13.又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，-3-离心率e＝ca＝133，渐近线方程为y＝±23x.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.2由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.3由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质.提醒：求性质时一定要注意焦点的位置.[跟进训练]1．(1)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－y24＝1B．x24－y2＝1C．y24－x2＝1D．y2－x24＝1(2)若双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±2xC．y＝±12xD．y＝±22x(1)C(2)B[(1)A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，令y24－x2＝0，得y＝±2x；令y2－x24＝0，得y＝±12x.故选C．(2)在双曲线中，离心率e＝ca＝1＋ba2＝3，可得ba＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±2x.]由双曲线的几何性质求标准方程【例2】求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线y24－x23＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线y264－x216＝1离心率相等；(4)与椭圆x225＋y216＝1有公共焦点，离心率为32.[解](1)法一：由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方-4-程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程是y2329－x28＝1.法二：由题意可设所求双曲线方程为x2m－y2n＝1(mn0)．由题意，得1m－4n＝1，nm＝49，解得m＝－8，n＝－329.因此所求双曲线的标准方程为y2329－x28＝1.(2)设所求双曲线方程为y24－x23＝λ(λ≠0)．由点M(3，－2)在双曲线上，得44－93＝λ，λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x26－y28＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为x264－y216＝λ(λ0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为y264－x216＝λ(λ0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－140(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1.(4)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c＝3且焦点在x轴上．设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．因为e＝ca＝32，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的标准方程为x24－y25＝1.法二：因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为x225－λ－y2λ－16＝1(16λ25)．因为e＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x24－y25＝1.-5-1．由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx2－ny2＝1(mn0)，从而直接求解．2．常见双曲线方程的设法(1)渐近线为y＝±nmx的双曲线方程可设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0，m0，n0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A0，B0)．(2)与双曲线x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ或y2a2－x2b2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)离心率相等的双曲线系方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ0)或y2a2－x2b2＝λ(λ0)，这是因为离心率不能确定焦点位置．[跟进训练]2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦点在x轴上，离心率为2，且过点(－5,3)；(3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x.[解](1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由题意知2b＝12，ca＝54且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.(2)∵e＝ca＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝a2.又∵焦点在x轴上，∴设双曲线的标准方程为x2a2－y2a2＝1(a0)．把点(－5,3)代入方程，解得a2＝16.∴双曲线的标准方程为x216－y216＝1.(3)设以y＝±32x为渐近线的双曲线方程为x24－y29＝λ(λ≠0)，当λ0时，a2＝4λ，∴2a＝24λ＝6⇒λ＝94.-6-当λ0时，a2＝－9λ，∴2a＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x29－4y281＝1或y29－x24＝1.双曲线的离心率问题[探究问题]1．若过双曲线右焦点的直线l与双曲线的一条渐近线平行，则该直线与双曲线有几个交点？提示：有且只有一个．2．若探究1中的直线l与双曲线右支有且只有一个交点，则l的斜率与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)中的a，b存在怎样的关系？提示：直线l的斜率k≤ba.【例3】(1)设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________；(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是________．[思路点拨](1)根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有ba≥tan60°.(1)1＋32(2)[2，＋∞)[(1)由题意2c＝|AB|＝|BC|，所以|AC|＝2×2c×sin60°＝23c，由双曲线的定义，有2a＝|AC|－|BC|＝23c－2c⇒a＝(3－1)c，∴e＝ca＝13－1＝1＋32.(2)因为双曲线渐近线的斜率为k＝ba，直线的斜率为k1＝tan60°＝3，故有ba≥3，所以e＝ca＝a2＋b2a2≥1＋3＝2，所以所求离心率的取值范围是e≥2.]双曲线的离心率问题主要有两种，一是求离心率，二是求离心率的取值范围.求圆锥曲线的离心率的关键是探寻a与c的关系，由于a，b，c三者具有固定的关系，因此由题目条件找到它们中任意两个的等量关系或不等关系，都能转化为离心率的方程或不等式，从而求得离心率的值或范围.-7-[跟进训练]3．(1)如图，F1和F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，A，B是以O为圆心、以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．(2)已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．(1)3＋1(2)(1,2)[(1)∵|F1F2|＝2c，且|OF1|＝|OA|＝|OF2|＝c，∴△AF1F2为直角三角形．又∵△F2AB为等边三角形，∴|AF2|＝3c，|AF1|＝c.由双曲线的定义知3c－c＝2a，∴e＝ca＝23－1＝3＋1.(2)如图，要使△ABE为锐角三角形，只需∠AEB为锐角，由双曲线对称性知△ABE为等腰三角形，从而只需满足∠AEF45°.又当x＝－c时，y＝b2a，∴tan∠AEF＝|AF||EF|＝b2aa＋c1，∴e2－e－20，又e1，∴1e2.]1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．2．解决与几何图形有关的双曲线离心率问题常借助几何图形的性质建立等量或不等关系．-8-1．判断正误(1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上．()(2)若两条双曲线的焦点相同，则其渐近线也一定相同．()(3)焦点在x轴上的双曲线的离心率越大，其渐近线斜率的绝对值就越大．()(4)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线．()(5)等轴双曲线的离心率等于2.()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×(5)√2．双曲线x24－y29＝1的渐近线方程是()A．y＝±23xB．y＝±49xC．y＝±32xD．y＝±94xC[双曲线的焦点在x轴上，且a＝2，b＝3，因此渐近线方程为y＝±32x.]3．若a1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()