20202021学年高中数学第3章导数及其应用32321几个常用函数的导数322基本初等函数的导数公

-1-3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习目标核心素养1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点)借助导数的定义求几个常用函数的导数，培养逻辑推理及数学运算的素养.1．几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1xf′(x)＝－1x2思考：根据上述四个公式，你能总结出函数y＝xα的导数是什么吗？[提示]若y＝xα，则y′＝αxα－1.2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝1xlna(a0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝1x1．函数f(x)＝0的导数是()-2-A．0B．1C．不存在D．不确定A[由基本初等函数的导数公式知(0)′＝0，故选A．]2．下列结论正确的个数为()①f(x)＝ln2，则f′(x)＝12；②g(x)＝cosx，则g′π6＝－12；③h(x)＝2x，则h′(x)＝2xln2；④φ(x)＝log5x，则φ′(x)＝1xln5.A．0B．1C．2D．3D[对①，f′(x)＝(ln2)′＝0；对②，g′(x)＝－sinx，g′π6＝－sinπ6＝－12；对③，h′(x)＝2x·ln2；对④，φ′(x)＝1xln5.故选D．]3．求下列函数的导数．(1)(2x)′＝________；(2)(log3x)′＝________；(3)(sin30°)′＝________；(4)1x4′＝________.[答案](1)2xln2(2)1xln3(3)0(4)－4x5利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数．(1)y＝x12；(2)y＝5x3；(3)y＝2sinx2cosx2；(4)y＝log12x；(5)y＝3x.[解](1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.(2)y′＝(5x3)′＝(x35)′＝35x35－1＝35x－25＝355x2.(3)∵y＝2sinx2cosx2＝sinx，∴y′＝cosx.-3-(4)y′＝(log12x)′＝1xln12＝－1xln2.(5)y′＝(3x)′＝3xln3.用导数公式求函数导数的方法1若所求函数是基本初等函数，则直接利用公式求解.2对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝1x4可以写成y＝x－4，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.[跟进训练]求下列函数的导数：(1)y＝5x；(2)y＝－1x5；(3)y＝ln3；(4)y＝xx3.[解](1)y′＝(5x)′＝5xln5.(2)y′＝－(x－5)′＝5x－6＝5x6.(3)y′＝(ln3)′＝0.(4)∵y＝xx3，∴y＝x52，∴y′＝x52′＝52x52－1＝52x32＝5xx2.利用导数公式求曲线的切线方程【例2】已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．[思路点拨]直线PQ的斜率⇒所求切线的斜率⇒切点坐标⇒所求切线方程．[解]因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，又因为PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝12.所以切点为M12，14.所以所求切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.1．本例中，是否存在与直线PQ垂直的切线？若存在，求出切线方程，若不存在，说明-4-理由．[解]假设存在与直线PQ垂直的切线，因为PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，所以与PQ垂直的切线斜率k＝－1，设切点为(x1，y1)，则y′|x＝x1＝2x1，令2x1＝－1，则x1＝－12，y1＝14，切线方程为y－14＝－x＋12，即4x＋4y＋1＝0.2．若本例中曲线改为y＝lnx，试求与直线PQ平行的切线方程．[解]设切点为(a，b)，因为kPQ＝1，则由f′(a)＝1a＝1，得a＝1，故b＝ln1＝0，则与直线PQ平行的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：1切点处的导数是切线的斜率；2切点在切线上；3切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2x2的导数．因为y＝1－2sin2x2＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．1．判断正误(1)(log3π)′＝1πln3.()(2)若f(x)＝1x，则f′(x)＝lnx．()-5-(3)因为(sinx)′＝cosx，所以(sinπ)′＝cosπ＝－1.()[答案](1)×(2)×(3)×2．已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k＝________.1e[y′＝(lnx)′＝1x，则1x＝k.所以x＝1k，所以y＝k×1k＝1.所以曲线y＝lnx过点1k，1，即1＝ln1k，所以k＝1e.]3．曲线y＝ex在点(0,1)处的切线方程为__________．x－y＋1＝0[y′＝ex，y′|x＝0＝e0＝1，故切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.]4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．[解]因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，曲线在点(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.由a＋b＋c＝1，4a＋b＝1，4a＋2b＋c＝－1，解得a＝3，b＝－11，c＝9.所以a，b，c的值分别为3，－11,9.