20202021学年高中数学第3章导数及其应用34生活中的优化问题举例教师用书教案新人教A版选修11

-1-3.4生活中的优化问题举例学习目标核心素养1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．(重、难点)借助导数解决实际问题，提升数学建模、数学运算的素养.1．生活中的优化问题(1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值．2．用导数解决优化问题的基本思路1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．7万件B．9万件C．11万件D．13万件B[设y＝f(x)，即f(x)＝－13x3＋81x－234，故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．当0x9时，f′(x)0，函数y＝f(x)单调递增；当x9时，f′(x)0，函数y＝f(x)单调递减．因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值．故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8B．203C．－1D．－8C[由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，即-2-原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]3．电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝13x3－392x2－40x(x0)．为使耗电量最小，则速度应定为__________．40[y′＝x2－39x－40，令y′＝0，即x2－39x－40＝0，解得x＝40或x＝－1(舍)．当0x40时，y′0，当x40时，y′0，所以当x＝40时，函数y＝13x3－392x2－40x有最小值．]面积、体积的最值问题【例1】用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？[思路点拨]设自变量高为x―→根据长方体的体积公式建立体积关于x的函数―→利用导数求出容积的最大值―→结论[解]设容器的高为xcm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0＜x＜24)．所以V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)．当0＜x＜10时，V′(x)＞0，即V(x)单调递增；当10＜x＜24时，V′(x)＜0，即V(x)单调递减．因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19600(cm3)．因此当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm3.1．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当-3-的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．2．实际问题中函数定义域确定的方法(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；(2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等．[跟进训练]1．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．6πS3π[设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.∴h＝S－2πr22πr.又圆柱的体积V＝πr2h，＝r2(S－2πr2)＝rS－2πr32，V′(r)＝S－6πr22，令V′(r)＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，因为V′(r)只有一个极值点，故当h＝2r时圆柱的容积最大．此时，S＝2π×h24＋πh2，∴h＝6πS3π.]用料(费用)最省问题【例2】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的函数解析式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[思路点拨]代入数据求k的值⇒建造费用加上每年能源消耗费用总和得出总费用f(x)⇒利用导数求最值．[解](1)设隔热层厚度为xcm，由题设可知，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，-4-再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5，而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－24003x＋52，令f′(x)＝0，即24003x＋52＝6，解得x＝5，x＝－253(舍去)，当0x5时，f′(x)0，当5x10时，f′(x)0，故x＝5时，为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．解决优化问题时应注意的问题1列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域.2一般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数fx在给定区间内只有一个极值点或函数fx在开区间上只有一个点使f′x＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.[跟进训练]2．已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v千米/时(8v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v＝12千米/时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的静水速度为多少？[解]设每小时的燃料费为y1，比例系数为k，则y1＝kv2.当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，解得k＝5，∴y1＝5v2.∴全程的燃料费y＝y1·200v－8＝1000v2v－8(8v≤v0)．y′＝2000vv－8－1000v2v－82＝1000v2－16000vv－82.令y′＝0得v＝16或v＝0(舍去)．-5-所以函数在v＝16时取得极值，并且是极小值．当v0≥16时，v＝16使y最小，即全程燃料费最省．当8v016时，可得y＝1000v2v－8在(8，v0]上递减，即当v＝v0时，ymin＝1000v20v0－8.综合上述得：若v0≥16，则当v＝16千米/时时，全程燃料费最省；若8v016千米/时，则当v＝v0时，全程燃料费最省．利润最大(成本最低)问题[探究问题]1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？提示：(1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[思路点拨](1)根据x＝5时，y＝11，求a的值．(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．[解](1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)2x－3＋10x－62＝2＋10(x－3)(x－6)2,3x6，-6-从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0f(x)↗极大值42↘由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．1．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值．2．解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误．[跟进训练]3．某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6x11)，年销售为u万件，若已知5858－u与x－2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y关于售价x的函数表达式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．[解](1)设5858－u＝kx－2142，∵售价为10元时，年销量为28万件，∴5858－28＝k10－2142，解得k＝2.∴u＝－2x－2142＋5858＝－2x2＋21x＋18.∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108(6x11)．(2)y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)．令y′＝0，得x＝2(舍去)或x＝9，显然，当x∈(6,9)时，y′0；当x∈(9,11)时，y′0.-7-∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上单调递增，在(9,11)上单调递减．∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，即售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元.1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．(2)求函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．1．判断正误(1)生活中的优化问题的实质就是函数的最值问题．()(2)生活中的优化问题必须运用导数解决．()(3)广告牌的面积最小问题是生活中的优化问题．()[答案](1)√(2)×(3)√2．做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A．6mB．8mC．4mD．2mC[设底面边长为xm，高为hm，则有x2h＝256，所以h＝256x2.所用材料的面积设为Sm2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·256x2＋x2＝1024x＋x2，S′＝2x－1024x2，令S′＝0，得x＝8，因此h＝25664＝4(m)．]3．某件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．115[利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000(30x200)，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．]4．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴