20202021学年高中数学第3章空间向量与立体几何31空间向量及其运算315空间向量运算的坐标表示

-1-3.1.5空间向量运算的坐标表示学习目标核心素养1．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)2．掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点)1．通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养．2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养．1．空间向量运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b32．空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则平行(a∥b)a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，λ∈Ra3＝λb3垂直(a⊥b)a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)模|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23夹角公式cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23思考：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b一定有a1b1＝a2b2＝a3b3成立吗？-2-[提示]当b1，b2，b3均不为0时，a1b1＝a2b2＝a3b3成立．3．向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)AB→＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；(2)dAB＝|AB→|＝a2－a12＋b2－b12＋c2－c12．1．已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)，则4a＋2b等于()A．(10，－18，－18)B．(－10,18,18)C．(－14，－2,22)D．(－14,2，－22)B[∵4a＝(－12,8,20)，2b＝(2,10，－2)，∴4a＋2b＝(－10,18,18)．]2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝()A．1B．15C．35D．75D[ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝75．]3．若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则m＋n＝________．－3[AB→＝(3，－1,1)，AC→＝(m＋1，n－2，－2)．∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得AC→＝λAB→．即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，∴m＋1＝3λ，n－2＝－λ，－2＝λ，解得λ＝－2，m＝－7，n＝4．∴m＋n＝－3．]4．已知a＝(－2，2，3)，b＝(32，6,0)，则|a|＝________，a与b夹角的余弦值等于________．369[|a|＝－22＋22＋32＝9＝3，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－6＋123×322＋62＝69．]-3-空间向量的坐标运算【例1】(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________．(2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标；①OP→＝12(AB→－AC→)；②AP→＝12(AB→－AC→)．(1)2[c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2．](2)解：AB→＝(2,6，－3)，AC→＝(－4,3,1)．①OP→＝12(AB→－AC→)＝12(6,3，－4)＝3，32，－2，则点P的坐标为3，32，－2．②设P(x，y，z)，则AP→＝(x－2，y＋1，z－2)．∵AP→＝12(AB→－AC→)＝3，32，－2，∴x－2＝3，y＋1＝32，z－2＝－2，解得x＝5，y＝12，z＝0，则点P的坐标为5，12，0．1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．[跟进训练]1．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求：(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．[解](1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)．(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)．(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7．-4-(4)∵2a＝(4，－2，－4)，∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14．(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8．利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题【例2】正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P→＝PD1→，若PQ⊥AE，BD→＝λDQ→，求λ的值．思路探究：建立坐标系―→得各点的坐标―→利用平行与垂直―→得λ[解]如图所示，以D为原点，DA→，DC→，DD1→的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，因为3B1P→＝PD1→，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，所以3a－3＝－a，解得a＝34，所以点P的坐标为34，34，1．由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，因为PQ⊥AE，所以PQ→·AE→＝0，所以b－34，b－34，－1·－1，0，12＝0，即－b－34－12＝0，解得b＝14，所以点Q的坐标为14，14，0，因为BD→＝λDQ→，所以(－1，－1,0)＝λ14，14，0，-5-所以λ4＝－1，故λ＝－4．向量平行与垂直问题主要有两种题型：1平行与垂直的判断；2利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解题时要注意：①适当引入参数比如向量a，b平行，可设a＝λb，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.[跟进训练]2．已知空间向量a＝(－1,2，－3)，b＝(2，－4，x)，c＝(4，y,6)．(1)若m∥a，且|m|＝27，求向量m；(2)若a⊥c，求实数y的值；(3)若(2a－b)∥(a＋3b)，求实数x的值．[解](1)由于m∥a，可设m＝λa＝λ(－1,2，－3)＝(－λ，2λ，－3λ)．因为|m|＝27，所以－λ2＋2λ2＋－3λ2＝27，即λ2＝2，解得λ＝±2．故m＝(－2，22，－32)或m＝(2，－22，32)．(2)因为a⊥c，所以a·c＝0，即－4＋2y－18＝0，解得y＝11．(3)由已知得2a－b＝(－4,8，－6－x)，a＋3b＝(5，－10,3x－3)，而(2a－b)∥(a＋3b)，所以－45＝8－10＝－6－x3x－3，解得x＝6．空间向量夹角与长度的计算[探究问题]1．已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点P的坐标是多少？[提示]Px1＋x22，y1＋y22，z1＋z22．2．设异面直线AB，CD所成的角为θ，则cosθ＝cos〈AB→，CD→〉一定成立吗？[提示]当cos〈AB→，CD→〉≥0时，cosθ＝cos〈AB→，CD→〉，当cos〈AB→，CD→〉0时，cosθ＝－cos〈AB→，CD→〉．【例3】棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中-6-点．(1)求证：EF⊥CF；(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；(3)求CE的长．思路探究：建立适当的坐标系―→得各点的坐标―→数量积运算―→长度、夹角公式―→几何结论[解](1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则D(0,0,0)，E0，0，12，C(0,1,0)，F12，12，0，G1，1，12．所以EF→＝12，12，－12．CF→＝12，－12，0，CG→＝1，0，12，CE→＝0，－1，12．因为EF→·CF→＝12×12＋12×－12＋－12×0＝0，所以EF→⊥CF→，即EF⊥CF．(2)因为EF→·CG→＝12×1＋12×0＋－12×12＝14，|EF→|＝122＋122＋－122＝32，|CG→|＝12＋02＋122＝52，所以cos〈EF→，CG→〉＝EF→·CG→|EF→||CG→|＝1432×52＝1515．又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为-7-1515．(3)|CE|＝|CE→|＝02＋－12＋122＝52．通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.[跟进训练]3．如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．[解](1)证明：设AB→＝p，AC→＝q，AD→＝r．由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°．MN→＝AN→－AM→＝12(AC→＋AD→)－12AB→＝12(q＋r－p)，∴MN→·AB→＝12(q＋r－p)·p＝12(q·p＋r·p－p2)＝12(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0．∴MN→⊥AB→，即MN⊥AB．同理可证MN⊥CD．(2)设向量AN→与MC→的夹角为θ．∵AN→＝12(AC→＋AD→)＝12(q＋r)，MC→＝AC→－AM→＝q－12p，-8-∴AN→·MC→＝12(q＋r)·q－12p＝12q2－12q·p＋r·q－12r·p＝12a2－12a2cos60°＋a2cos60°－12a2cos60°＝12a2－a24＋a22－a24＝a22．又∵|AN→|＝|MC→|＝32a，∴AN→·MC→＝|AN→||MC→|cosθ＝32a×32a×cosθ＝a22．∴cosθ＝23．∴向量AN→与MC→的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为23．1．在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．2．两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB→|＝|AB→|2＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12．3．空间向量的数量积