高斯公式的内容及其证明

§10．6高斯公式通量与散度一、高斯公式二、通量与散度高斯公式的物理意义、散度散度的计算、通量、高斯公式的另一形式一、高斯公式定理1设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在W上具有一阶连续偏导数，则有dvzRyQxPWSRdxdyQdzdxPdydz，或dvzRyQxPWdSRQP)coscoscos(S这里S是W的整个边界的外侧，cos、cos、cos是S上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦．这两个公式称为高斯公式．证明如图所示，把S看成由S1，S2和S3三部分组成，其中S1和S2的方程分别为zz1(x,y)和zz2(x,y)，S1取下侧，S2取上侧，S3取外侧．设闭区域W在xOy面上的投影区域为Dxy．简要证明：xyzOWS2：zz2(x,y)S3S1：zz1(x,y)Dxy根据三重积分的计算法，有dvzRWxyDyxzyxzdzzRdxdy),(),(21xyDdxdyyxzyxRyxzyxR)]},(,,[)],(,,[{12．另一方面，有S1)],(,,[),,(1xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR，S2)],(,,[),,(2xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR，S30),,(dxdyzyxR，SdxdyzyxR),,(xyDdxdyyxzyxRyxzyxR)]},(,,[)],(,,[{12．以上三式相加，得所以有dvzRWSdxdyzyxR),,(．类似地有dvxPWSdydzzyxP),,(，dvyQWSdzdxzyxQ),,(，把以上三式两端分别相加，即得高斯公式．例1利用高斯公式计算曲面积分dydzzydxdyyx)()(S，其中S为柱面x2y21及平面z0，z3所围成的空间闭区域W的整个边界曲面的外侧．解这里P(yz)x，Q0，Rxy，xPyz，xQ0，xR0．由高斯公式，有201030)sin(dzzrrdrd29．Wdzrdrdzr)sin(Wdxdydzzy)(dydzzydxdyyx)()(SxyzO113例2计算曲面积分S(x2cosy2cosz2cos)dS，其中S为锥面x2y2z2介于平面z0及zh(h0)之间的部分的下侧，cos、cos、cos是S上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦．解设S1为zh(x2y2h2)的上侧，则S与S1一起构成一个闭曲面，记它们围成的空间闭区域为W．xyzOx2y2h2hS1S22yxz:而因此S(x2cosy2cosz2cos)dS421hh4421h．SS1(x2cosy2cosz2cos)dSWdvzyx)(222222)(2hyxhyxdzzyxdxdy222222hyxhyxzdzdxdy222)(222hyxdxdyyxh421h．由高斯公式得SS1(x2cosy2cosz2cos)dSWdvzyx)(222222)(2hyxhyxdzzyxdxdy222222hyxhyxzdzdxdyS(x2cosy2cosz2cos)dS421hh4421h．S1(x2cosy2cosz2cos)dSS1z2dS2222hyxdxdyhh4．S1(x2cosy2cosz2cos)dSS1z2dS2222hyxdxdyhh4．二、通量与散度高斯公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域W的流体的总质量，左端可解释为分布在W内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量．高斯公式的物理意义：dvzRyQxPWdSSnF在流速场F{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}内一定点M(x,y,z)附近任取一包围M点的闭曲面S，设S所围成的区域为W，W的体积为V，则散度：表示单位时间从W的单位体积内所产生的流量，而dSVSnF1MWlimdSVSnF1表示在点M处单位时间内所产生的流量，我们称其为向量场F在点M的散度，记为divF，即divFMWlimdSVSnF1．设P、Q、R具有一阶连续偏导数，则散度的计算：divFzRyQxP．设S是向量场F内的一片有向曲面，n是S上点(x,y,z)处的单位法向量，则通量：dSSnF叫做向量场F通过曲面S向着指定侧的通量（或流量）．高斯公式的另一形式：dvdivWF=dSSnF．