结构力学影响线

1§5-1影响线的基本概念一、移动荷载例如：吊车在吊车梁上运行时，其轮压对吊车梁而言是移动荷载。又如汽车、火车在桥梁上行驶时，其轮压对桥梁来说也是移动荷载。荷载的大小、方向一定，但荷载位置连续变化的荷载就称为移动荷载。汽车或火车轮压产生的移动荷载的特点是：一组竖向集中力（可包括均布荷载），各集中力的大小、方向固定，相互间的位置也固定，作为整体在结构上移动。2在移动载荷作用下，结构任意截面的内力（M、FQ、FN）和位移（△、θ）及支座反力均随移动荷载在结构上的位置变化而变化。FP1FP2FP3FP4a1a3a2ba4q结构在移动荷载作用下，主要讨论下述问题：1）对于给定截面C，其位移或内力（例如Mc）当给定的移动荷载在什么位置时得到最大值？该问题是求移动荷载的最不利位置问题。32）对于给定的移动荷载组，简支梁AB上哪个截面的弯矩当移动荷载在什么位置时取得最大值？该问题是简支梁绝对最大弯矩的求解问题。此外，还要讨论简支梁和连续梁的内力包络图的画法等问题。为求解以上问题，首先要讨论结构影响线的求解。实际移动荷载是由若干集中力及均布荷载组成的，而且每个集中力的大小也不同。但我们首先要讨论的是具有共性的问题，即单个移动荷载FP=1在结构上移动时结构内力和位移的变化规律。4FP=1xBAla)FRA0(0)BRAPlxMFFxllyb)xyy1y2FRA影响线1现讨论图a)所示简支梁，当单个荷载FP=1在梁上移动时，支座A的反力FRA的变化规律。5RAlxFl(0)xl在影响线图形中，横坐标x表示单位移动荷载在梁上的位置；纵坐标y表示当单位荷载在该位置时，影响系数的大小。RAF上式是反力影响系数与移动荷载位置参数x之间的函数关系，该函数图形就称为反力FRA的影响线，见上页图b)。RAF由上式可见，FRA与FP成正比，比例系数称为FRA的影响系数，用表示，即：lxlRAF6BFP1AFP2c)1122RAPPFFyFy若梁上作用有固定荷载（图c），则根据叠加原理，A支座的反力FRA为：b)xyyy1y2FRA影响线17PPZZFZZF当单位集中移动荷载FP=1在结构上移动时，表示结构指定截面的某量值Z变化规律的曲线，称为Z的影响线。量值Z可以是截面内力或位移，也可以是支座反力。影响系数是Z与FP的比例系数，即：Z二、影响线定义与Z的量纲不同，它们相差一个荷载FP的量纲。Z8§5-2静力法作影响线梁弯矩M的正负号：剪力FQ的正负号：轴力FN的正负号：一、内力和支座反力的正负号竖向反力通常以向上为正，向下为负。9二、简支梁的影响线静力法作影响线：用静力平衡方程求出的函数关系，然后画出函数图形就求得了影响线。Zx0BRAlxMFl(0)xl1.支座反力影响线0ARBxMFl(0)xlFP=1xBAlabCRAFRBF10FRA影响线FRB影响线2.弯矩和剪力影响线当FP=1在AC段，取CB段作隔离体：CMQCFRBFbBC0(0)0(0)CCRByQCRBMMFbxaFFFxa1111当FP=1在CB段，取AC段作隔离体：QCFCMRAFaCA0()0()CCRAyQCRAMMFaaxlFFFaxlMc影响线ababl截面C弯矩和剪力影响线如下图示。12FQC影响线llblal13下面讨论影响线与内力图的区别。xFP=1ACablBACablBFP=1影响线ablblalFQ图M图内力图blalablFQC影响线MC影响线14§5-2机动法作影响线机动法作静定结构影响线是应用虚功原理把求影响线的静力平衡问题转化为作刚体位移图的几何问题。对于单跨或多跨梁，由于刚体位移图很容易确定，所以影响线的求解十分简捷。现以下图所示伸臂梁AB的支座反力FRB的影响线为例进行说明。FP=1xl/4l/4lAB151.撤去与相应的约束，代之以反力，原结构变成具有一个自由度的机构。RBFRBZF（）2.令该机构产生刚体位移，使与Z方向一致，则虚功方程为：Z0ZPPZFx（）ZZ）（xP）（xPPF）（xP上式中，恒为正；与FP同向为正，反向为负。乘积的正负号由的正负号调整。P图FP=1xZP()xZ41Z45ABRBZF16()PZxZ1Z()PZx1ZPP可见，在图中，令，并将图反号，就求得Z的影响线，并且能确定影响线的正负号及竖标大小。3.由上式可得:令得到4145AB1FRB影响线17用机动法求下图所示伸臂梁MC及FQC的影响线。例5-2-1FP=1ABC2ddddx解：1.作MC的影响线将C截面变为铰接，暴露出弯矩；令该机构产生刚体位移，使C左、右截面相对转角与同向，就得到图，见下页图。CMCMP18虚功方程为:()0()()0()0()CCPPCPPCZPPPCZMMFxMFxMFxxMZ2dZ3dZZ23dZ23dP()xCMP图ABC191Z令()CPMx则1ZP上式表明，在图中，令并反号，就可求得MC影响线。MC影响线23d23d3d2.作FQC的影响线将C截面改为滑动连结，暴露出剪力；令该机构产生刚体位移，使C左、右截面位移方向与相同，就得到图，见下页图。PQCFQCF20虚功方程为:12()()033()0()QCZZPPQCZPPPQCZFFxFFxxF1Z令P()QCFx则ZZ31Z32P()xQCFP图Z31ZZ31ABC21§5-4影响线的应用一、求各种固定荷载作用下的影响若已求得指定截面某量值Z的影响线，根据叠加原理，就可以求得固定荷载作用下该量值Z的大小。梁截面C的弯矩MC的影响线已求得如右图示，求固定荷载作用下的MC值。0.253m1mA1m1mB0.250.750.750.375Mc影响线C22一组集中荷载：100.375150.75200.253.7511.25520.CMkNm均布荷载：130.751.1252BBCCCBCMqydxqydxqdqqqMc影响线C0.5m2m20kN15kN10kNCBq3m1mA1m1mB0.250.750.750.375C23把单个集中移动荷载放在影响线的最大或最小竖标位置，就得到最不利荷载位置，进而求得Zmax或Zmin。二、最不利荷载位置使结构指定截面的某量值Z达到最大值Zmax或最小值Zmin时实际移动荷载的位置，称为最不利荷载位置。1.单个集中移动荷载对于剪力FQC影响线，将集中力FP放在截面C，见右图，就得到：ABb/la/lFQC影响线C24对于伸臂梁的MC影响线（见下图），将FP分别放在截面C和E，就得到：minminmaxmax)()(yFMyFMPCPC2.可任意布置的均布活荷载可任意布置的均布活荷载通常指人群荷载。把影响线正号部分布满均布活载，可以求得Zmax，把影响线负号部分布满均布活载，可以求得Zmin。maxmin()()PPQCQCbaFFFFll左右ADBymaxyminMc影响线CE25q求(Mc)max求(Mc)minqq)()()(32min1maxqMqMCCω1ω3ω2ADBMc影响线CE263.一组移动集中荷载一组移动集中荷载：各集中力的大小、方向及相互间的距离均保持不变，作为整体在结构上移动。为了确定最不利荷载位置，原则上使排列密集、数值较大的集中力放在影响线竖标较大的部位，而且一定有一个集中力位于影响线的某个顶点上。为确定最不利荷载位置，通常分两步：1）求出使Z达到极值的荷载位置。这种荷载位置称为荷载的临界位置，而且可能不止一个。272）从Z的极大值中选出最大值，从Z的极小值中选出最小值，从而确定最不利荷载位置。下面以多边形影响线为例，说明临界荷载位置的特点及其判定方法。FP1FP2FR1FP3FP4FR2FP5FP6FR3Δxα1xΔxΔx1y1yα22yα33y2y3yyZ28iPiPPPPyFyFyFyFyFZ66332211...112233RRRRiiZFyFyFyFy因为是x的一次函数，所以Z也是x的一次函数。若荷载右移动Δx，则竖标的增量为：iyiyiixtgy则Z的增量为：3311RiiRiiiiZFyxFtg31RiiiZFtgx在影响线图中，α10，α20，α30。由上面影响线图可得出:29因为Z是x的一次函数，所以Z-x图形是折线图形。于是ΔZ/Δx是折线图形中各折线段的斜率。对于折线图形，极值发生在使ΔZ/Δx变号的尖点处。xZ+-+00-极大值点xZ-+-00+极小值点若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极大值，则：0RiiFtg当Δx0，即荷载稍向右移，。0RiiFtg当Δx0，即荷载稍向左移，。30若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极小值，则：0RiiFtg当Δx0，即荷载稍向右移，。0RiiFtg当Δx0，即荷载稍向左移，。总之，当荷载在Z的极值点位置稍向左、右移动时，必须变号。如何使变号？是常数，可以变化的只是FRi。为了使FRi变化，必须有一个集中力位于影响线的顶点，此荷载记作FPcr，当FPcr位于影响线的顶点以左或以右时，会引起FRi发生变化，如下图示。RiiFtgRiiFtgitg31PcrPPRFFFF211542PPRFFF211PPRFFF542PPPcrRFFFFFP1FP2FR1FPcrFP4FP5FR2FP1FP2FR1FPcrFP4FP5FR2当移动荷载左右移动时，能使改变符号的荷载FPcr称为临界荷载，相应的移动荷载组的位置称为临界位置。RiiZFtgx32在给定的移动荷载组中，能使变号的临界荷载可能不止一个。确定最不利荷载位置的步骤如下：RiiZFtgx1)选定一个集中力作为FPcr，使它位于影响线的一个顶点上；2）当FPcr稍作左右移动时，分别计算的值。若变号，则此FPcr即为一临界荷载，相应的荷载位置为临界位置。用同样的方法可以确定其它的FPcr及相应的荷载临界位置。RiiFtg3)对于每个荷载临界位置求出相应的Z值，比较各个Z值，可确定Zmax及Zmin，进而确定相应的最不利荷载位置。33例5-4-1如下图多边形影响线及移动荷载组，试求荷载最不利位置和Z的最大值。已知q=37.8kN/m,FP1=FP2=FP3=FP4=FP5=90kN。FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m30mZ的影响线6m4m8mα1α310.75α2341）将FP4放在影响线的最高点，移动荷载组的布置如下图示。2）试算12310.250.75(,,)846tgtgtgiRitgF解：Z的影响线FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m6m3.5m16m4m8mα1α310.750.810.906α235若荷载稍向右移，各段荷载合力为：02.8675.08.226425.08.217812708.22668.378.21718.37290270390321kNtgFkNFkNFkNFiRiRRRZ的影响线123180.2540.756tgtgtgFP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m6m3.5m16m4m8mα1α310.750.810.906α236若荷载稍向左移，各段荷载合力为：1239043609037.81127.837.86226.810.250.75360127.8226.88.70846RRRRiiFkNFkNFkNFtgkNZ的影响线123180.2540.756tgtgtgF