归结原则的应用(老黄学高数第98讲)

老黄学高数第98讲归结原则的应用1、设f在U⁰(x0)内有定义.证明：极限f(xn)都存在，则所有这些极限都相等.记数列{zn}：x1,y1,x2,y2…,xn,yn,…，∵{xn},{yn}都是{zn}的子列，若对任何数列{xn}⊂U⁰(x0)且xn=x0，证：设{xn},{yn}⊂U⁰(x0)且xn=yn=x0，则{zn}⊂U⁰(x0)且zn=x0，∴f(zn)存在.∴f(xn)=f(yn)，原命题得证.1、设f在U⁰(x0)内有定义.证明：极限f(xn)都存在，则所有这些极限都相等.记数列{zn}：x1,y1,x2,y2…,xn,yn,…，若对任何数列{xn}⊂U⁰(x0)且xn=x0，证：设{xn},{yn}⊂U⁰(x0)且xn=yn=x0，若f(zn)不存在.则{zn}⊂U⁰(x0)且zn=x0，则f(xn)≠f(yn)，此时f(x)不存在.2、证明：∵f为周期函数，设最小正周期为T，证：若存在x0∈R，使f(x0)≠0.若f为R上的周期函数，且f(x)=0，则f(x)≡0.记xn=x0+nT，则f(xn)=f(x0)≠0(1)又xn→+∞(n→∞)，且f(x)=0，由归结原则知f(xn)=0(2)可见(1)(2)矛盾，∴f(x)≡0.1、当x→+∞(或-∞)时，周期函数f的极限存在，∵f为周期函数，设最小正周期为T，若存在x0∈R，使f(x0)≠A.记xn=x0-nT，则f(xn)=f(x0)≠A(1)由归结原则知f(xn)=A(2)可见(1)(2)矛盾，∴f(x)≡A.则f必为常量函数.证：设f为R上的周期函数，且f(x)=A，又xn→-∞(n→∞)，且f(x)=A，3、设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x)且∵f(x0)=f(2x0)=f(4x0)=…=f(2nx0)=…=B证：设有x0∈(0,+∞)，使f(x0)=B≠A，f(x)=A，证明：f(x)≡A(x∈(0,+∞)).对数列{2nx0}，有f(2nx0)=f(x0)=B(1)又2nx0→+∞(n→∞)，且f(x)=A，由归结原则知f(2nx0)=A(2)由(1)(2)知A=B，与B≠A矛盾，∴f(x)≡A(x∈(0,+∞)).4、设函数f在(0,+∞)上满足方程f(x2)=f(x)且∵f(x0)=f(x02)=…=f(x02n)=…，对数列{x02n}，证：设有x0∈(0,+∞)使f(x0)≠f(1)，∴f(x0)=f(1)，与f(x0)≠f(1)矛盾；∴f(x)≡f(1)(x∈(0,+∞)).f(x)=f(x)=f(1)，证明：f(x)≡f(1)(x∈(0,+∞)).若x0∈(0,1)，则有x02n=0且f(x02n)=f(x0)，又f(x)=f(1)，由归结原则有f(x02n)=f(1)，若x0∈(1,+∞)，则x02n=+∞且f(x02n)=f(x0)，又f(x)=f(1)，由归结原则有f(x02n)=f(1)，则f(x)≡A(x∈U⁰(x0)).2、设f在某U⁰(x0)内有定义，且f(x)存在，若存在以x0为极限的数列{xn}⊂U⁰(x0)，有f(xn)≡A,这个猜想是错误的，因为只要满足任何包含于U⁰(x0)且以x0为极限的数列{yn},都有f(yn)=A，显然f(xn)=A，就有f(x)=A.而除了{xn}，仍可能存在以x0为极限的数列{zn}⊂U⁰(x0),有f(z0)≠A(z0∈{zn}⊂U⁰(x0)).只有当{xn}=U⁰(x0)时，猜想成立.