(完整版)高三复习导数专题

1导导数数一一、、导导数数的的基基本本知知识识11、、导导数数的的定定义义：：)(0'xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000.22、、导导数数的的公公式式：0'C（C为常数）1')(nnnxx（Rn）xxee')(aaaxxln)('xx1)(ln'exxaalog1)(log'xxcos)(sin'xxsin)(cos'3、导数的运算法则：[()()]fxgx()()fxgx[()()]()()fxgxfxgx[()]()afxafx[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx2()()()()()[]()[()]fxfxgxfxgxgxgx4、掌握两个特殊函数（1）对勾函数()bfxaxx（0a，0b）其图像关于原点对称（2）三次函数32()fxaxbxcxd(0)a导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程2导导数数的的基基本本题题型型和和方方法法11、、、、导导数数的的意意义义：：（（11））导导数数的的几几何何意意义义：：0()kfx（（22））导导数数的的物物理理意意义义：：()vst22、、、、导导数数的的单单调调性性：：（（11））求求函函数数的的单单调调区区间间；；()0()b]fxfx在[a,上递增()0()b]fxfx在[a,上递减（（22））判判断断或或证证明明函函数数的的单单调调性性；；()fxc（（33））已已知知函函数数的的单单调调性性，，求求参参数数的的取取值值范范围围。。33、、、、函函数数的的极极值值与与最最值值：：((11))求求函函数数极极值值或或最最值值；；0()0fx0x是是极极值值点点（（22））由由函函数数的的极极值值或或最最值值，，求求参参数数的的值值或或参参数数的的范范围围。。44、、导导数数与与不等式。通过研究函数的最值，进而证明不等式⑴证明不等式f(x)g(x)在区间A上成立方法一：构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出函数在区间A上的最小值min()0Fx方法二：转化为证明minmax()()fxgx⑵f(x)g(x)在区间A恒成立,求参数取值范围。构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求函数在区间A上的最小值min()0Fx,解此不等式既得参数的范围⑶不等式f(x)g(x)的解集为空集，求参数取值范围。构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出函数在区间A上的最小值min()0Fx解此不等式既得参数的范围⑷不等式f(x)g(x)的解集非空，求参数取值范围。：构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出函数在区间A上的最小值max()0Fx解此不等式既得参数的范围⑸比较两个代数式f(x)和g(x的大小：构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求函数在区间A上的最值，若最小值min()0Fx，则()()fxgx；若最大值min()0Fx，则()()fxgx5、讨论讨论函数f(x)零点（方程根）的个数：通过研究函数的单调性、极值等，画出函数图像，进而讨论零点的个数三次函数32()fxaxbxcxd(0)a的图像0a0a0000三次函数是关于M对称的中心对称图3三、习题精选：【例1】导数的意义(特别提醒①利用导数求切线的斜率时要判断点是否在已知的曲线上②切点处的三个性质）1、(2010·新课标全国)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为(A)A．y＝x－1B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2解析：y′＝3x2－2，∴y′|x＝1＝3－2＝1，∴切线方程为：y－0＝x－1，即y＝x－1.2、（2012全国）曲线(3ln1)yxx在点（1,1）处的切线方程为________【解析】∵3ln4yx，∴切线斜率为4，则切线方程为：430xy.3、[2014·广东]曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．5x＋y＋2＝0[解析]∵y′＝－5ex，∴所求切线斜是k＝－5e0＝－5，∴切线方程是y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.4、2014课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝alnx＋12ax2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.则b=；分析：在第(1)问中，根据导数的几何意义将问题转化为f′(1)＝0，即可求出b的值；解：(1)f′(x)＝ax＋(1－a)x－b.由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.5、(2011湖南)曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为()A．－12B.12C．－22D.22答案By′＝cos2x＋sin2x（sinx＋cosx）2＝11＋sin2x，故切线斜率k＝y′|x＝π4＝12，选B.6、[2014·江西]若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．(e，e)[解析]由题意知，y′＝lnx＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令lnx＋1＝2，得x＝e，所以y＝elne＝e，所以P(e，e)．7、如果质点A按规律s＝2t3(s的单位是m)运动，则在t＝3s时的瞬时速度为(C)A．6m/sB．18m/sC．54m/sD．81m/s解析：∵s′＝6t2，∴s′|t＝3＝54.8、已知曲线y=1x，则曲线过Q(1,0)点处的切线方程为440xy9、若直线y＝3x＋1是曲线y＝x3－a的一条切线，求实数a=．解：设切点为P(x0，y0)，对y＝x3－a求导数得y′＝3x2，∴3x20＝3，∴x0＝±1.当x0＝1时，∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上，∴y0＝3×1＋1＝4，即P(1,4)．又P(1,4)也在y＝x3－a上，∴4＝13－a，∴a＝－3；当x0＝－1时，∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上，∴y0＝3×(－1)＋1＝－2，4即P(－1，－2)．又P(－1，－2)也在y＝x3－a上，∴－2＝(－1)3－a，∴a＝1.综上可知，实数a的值为－3或1.10．[2014·江苏]在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋bx(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．－3[解析]易知y′＝2ax－bx2.根据题意有－5＝4a＋b2，4a－b4＝－72，解得a＝－1，b＝－2，故a＋b＝－3.11、已知函数f(x)＝ax－6x2＋b的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，则函数y＝f(x)=解：由函数f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知－1＋2f(－1)＋5＝0，即f(－1)＝－2，f′(－1)＝－12.∵f′(x)＝ax2＋b－2xax－6x2＋b2，∴－a－61＋b＝－2，a1＋b＋2－a－61＋b2＝－12，即a＝2b－4，a1＋b－2a＋61＋b2＝－12.解得a＝2，b＝3(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)．所以所求的函数解析式是f(x)＝2x－6x2＋3.12、（2010辽宁）已知点P在曲线41xye上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()(A)[0,4)(B)[,)42（C）3(,]24(D)3[,)4解析：选D.2441212xxxxxeyeeee，12,10xxeye，即1tan0，3[,)413、设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是________．解析：设P(a，a2－a＋1)，y′|x＝a＝2a－1∈[－1,3]，∴0≤a≤2.而g(a)＝a2－a＋1＝a－122＋34，当a＝12时，g(a)min＝34.a＝2时，g(a)max＝3，故P点纵坐标范围是34，3.【例2】函数的单调性1、（2014·湖北）函数f(x)＝lnxx的单调递增区间为；单调递减区间为5解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝lnxx，所以f′(x)＝1－lnxx2.当f′(x)0，即0xe时，函数f(x)单调递增；当f′(x)0，即xe时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．2、设函数f(x)＝x(ex－1)12x2则函数f(x)的单调递增区间为答案：递增区间为(,1)，(0,)递减区间为(1,0)3．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(B)A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)解析：∵f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立．即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．又∵在(1，＋∞)上－3x2＜－3，∴a≥－3.4、(2014课标全国Ⅱ11)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是(D）A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)解析：由f′(x)＝k－1x，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即1kx在x∈(1，＋∞)上恒成立．又当x∈(1，＋∞)时，101x，故k≥1.故选D.5、(2014湖南)若0＜x1＜x2＜1，则(C)A．21eexx－＞lnx2－lnx1B．21eexx－＜lnx2－lnx1C．1221eexxxxD．1221eexxxx解析：设f(x)＝ex－lnx，则e1xxfxx.当x＞0且x趋近于0时，x·ex－1＜0；当x＝1时，x·ex－1＞0，因此在(0,1)上必然存在x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)，因此A，B不正确；设exgxx，当0＜x＜1时，2(1)e0xxgxx，所以g(x)在(0,1)上为减函数．所以g(x1)＞g(x2)，即1212eexxxx，所以1221eexxxx.故选C.6、若函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是________．解析：由题意可得：f′(x)＝2mx＋1x－2在(0，＋∞)上有f′(x)≥0恒成立，所以2mx＋1x－2≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m≥2x－1x2在(0，＋∞)上恒成立，设t(x)＝－1x2＋2x＝6－1x－12＋1，只要求出t(x)在(0，＋∞)上的最大值即可．而当1x＝1，即x＝1时，t(x)max＝1，所以2m≥1，即m≥12.答案：12，＋∞7、已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．解：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0得ex≥a，当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立；当a＞0时，有x≥lna.综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a＞0时，f(x)的单调增区间为[lna，＋∞)．(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.故当a≤0时，f(x)在定义域R内单调递增．8、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.设函数f(x)在区间－23，－13内是减函数，求a的