2020届黄浦区中考数学一模

第1页图1黄浦区2019学年度第一学期九年级期终调研测试数学试卷2020年1月（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．已知线段2a=，4b=，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（▲）．（A）8；（B）6；（C）22；（D）2．2．在Rt△ABC中，90C=，如果∠A=，ABm=，那么线段AC的长可表示为（▲）．（A）sinm；（B）cosm；（C）tanm；（D）cotm．3．已知一个单位向量e，设a、b是非零向量，那么下列等式中正确的是（▲）．（A）1aea=；（B）eaa=；（C）beb=；（D）11abab=．4．已知二次函数2xy=，如果将它的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图像的表达式是（▲）．（A）2(1)2yx=++；（B）2(1)2yx=+−；（C）2(1)2yx=−+；（D）2(1)2yx=−−．5．在△ABC与△DEF中，60AD==，ABACDFDE=，如果∠B=50°，那么∠E的度数是（▲）．（A）50°；（B）60°；（C）70°；（D）80°．6．如图1，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（▲）．（A）ADDEABBC=；（B）ADAEACAB=；（C）ADABDEBC=；（D）ADACABAE=．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）第2页7．计算：2(32)(2)baab−+−=▲．8．如图2，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果5AE=，3EC=，4DE=，那么线段BC的长是▲．DABCEl2l1EDBAFCDBACEFGHABCD图2图3图4图59．如图3，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线1l、2l于点A、B、C和点D、E、F．如果23ABBC=，DF=15，那么线段DE的长是▲．10．如果点P是线段AB的黄金分割点（APBP），那么BPAP的值是▲．11．写出一个对称轴是直线1x=，且经过原点的抛物线的表达式▲．12．如图4，在Rt△ABC中，90ABC=，BD⊥AC，垂足为点D，如果4BC=，2sin3DBC=，那么线段AB的长是▲．13．如果等腰△ABC中，3ABAC==，1cos3B=，那么cosA=▲．14．如图5，在△ABC中，BC=12，BC上的高AH=8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DEx=，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式是▲．（不需写出x的取值范围）．15．如图6，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是▲厘米．16．在△ABC中，AB=12，AC=9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC与相似，如果AE=6，那么线段AD的长是▲．17．如图7，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果5AG=，6BF=，那么线段CE的长是▲．18．如图8，在△ABC中，AB=AC，点D、E在边BC上，∠DAE=∠B=30°，且32ADAE=，那么DEBC的值桌面水面高度CDAB图6GFEABC图7ECBAD第3页图9ECABD图10是▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：cos30tan60sin60cot45−−20．（本题满分10分）已知，如图9，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且12DECE=，设ABa=，ADb=．（1）用a、b表示AE；（直接写出答案）（2）设AEc=，在答题卷中所给的图上画出3ac−的结果．21．（本题满分10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图10，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即1ADBE==米），两台测角仪相距50米（即AB=50米）．在某一时刻无人机位于点C(点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为30，B处测得其仰角为45．（参考数据：21.41，31.73，sin400.64，cos400.77，tan400.84）（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角为40，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）DCABE第4页图11EFDCABOxy22．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2124yxx=−−+，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点（点B在点C左侧），且cot2ABC=，求点B坐标．23．（本题满分12分）已知：如图11，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．（1）求证：ADDEABBF=；（2）联结AC，如果CFACDECD=，求证：22ACAFBCBF=．第5页24．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是225yxx=−+，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是25yx=−+，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．25．（本题满分14分）如图12，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD=AC,联结BD、CD，BD交直线AC于点E.（1）当∠CAD=90°时，求线段AE的长.（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD120°时，设AEx=，BCEAEFSyS=（其中BCES表示△BCE的面积，AEFS表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当7BCEAEFSS=时，请直接写出线段AE的长.ECABDCABxOy图12备用图第6页黄浦区2019学年度第一学期九年级期终调研测试数学评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A；2．B；3．B；4．B；5．C；6．D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．34ab−+；8．325；9．6；10．512−；11．答案不唯一（如22yxx=−）；12．25；13．79；14．23122yxx=−+；15．9.6；16．8或92；17．92；18．133118−．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）解：原式=321332−−……………………………………………………(2+2+2+2分)=0．…………………………………………………………………………(2分)20．（本题满分10分（1）13ab+；…………………………………………………………………………(5分)（2）图略．……………………………………………………………（画图4分，结论1分）21．（本题满分10分）解：（1）如图，过点C作CHAB⊥，垂足为点H．……………………………………(1分)∵45CBA=，∴BHCH=．……………………………………………………………………………(1分)设CHx=，则BHx=．∵在Rt△ACH中，30CAB=，∴33AHCHx==．……………………………………………………………(1分)∴350xx+=．……………………………………………………………………(1分)解得：18503+1x=……………………(1分)∴18119+=．答：计算得到的无人机的高约为19m．……………………………………………………(1分)（2）过点F作FGAB⊥，垂足为点G．………………………………………………(1分)在Rt△AGF中，tanFGFAGAG=．………………………………………………………(1分)∴tan401821.40.84FGAG=．……………………………………………………(1分)第7页又331.14AHCH=．∴31.1421.452−，或31.1421.4262+答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．……………………………(1分)22．（本题满分10分）（1）抛物线2124yxx=−−+的开口方向向下，………………………………………(1分)顶点A的坐标是(2,3)−，…………………………………………………………………(2分)抛物线的变化情况是：在对称轴直线2x=−左侧部分是上升的，右侧部分是下降的．(2分)（2）设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD．设线段AD的长为m，则cot2BDABCADm==．………………………………(1分)∴点B的坐标可表示为(22,3)mm−−−．………………………………………………(2分)代入2124yxx=−−+，得213(22)(22)24mmm−=−−−−−−+．解得10m=（舍），21m=．………………………………………………………………(1分)∴点B的坐标为(4,2)−．…………………………………………………………………(1分)23．（本题满分12分）（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，∴∠CDE=∠DAB，∠CBF=∠DAB．∴∠CDE=∠CBF．……………………………………………………………………（2分）∵CE⊥AE，CF⊥AF，∴∠CED=∠CFB=90°．………………………………………………………………（1分）∴△CDE∽△CBF．…………………………………………………………………（1分）∴BCCDBFDE=．…………………………………………………………………………（1分）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，CD=AB．∴ADABBFDE=．∴ADDEABBF=．…………………………………………………………（1分）（2）∵CFACDECD=，∠CED=∠CFB=90°，∴△ACF∽△CDE．………………………………………………………（2分）又∵△CDE∽△CBF，∴△ACF∽△CBF．………………………………………………………（1分）∴22ACFCBFSACSBC=．………………………………………………………………………（1分）第8页∵△ACF与△CBF等高，∴ACFCBFSAFSBF=．………………………………………………………………………（1分）∴22ACAFBCBF=．………………………………………………………………………（1分）24．（本题满分12分）（1）由题意，可知原抛物线顶点是(1,4)．………………………………………………（1分）设影子抛物线表达式是2yxn=+，………………………………………………（1分）将(1,4)代入2yxn=+，解得3n=．………………………………………………（1分）所以“影子抛物线”的表达式是23yx=+．………………………………………（1分）（2）设原抛物线表达式是2()yxmk=−++，则原抛物线顶点是(,)mk−．将(,)mk−代入25yx=−+，得2()5mk−−+=①………………