北京市东城区2016届高三上学期期末教学统一检测数学理科试卷Word版含答案

北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）2016.1学校___________班级_____________姓名____________考号___________本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合{1,2,3,4}U，集合{1,3,4}A，{2,4}B，那么集合()UCABI（A）{2}（B）{4}（C）{1,3}（D）{2,4}（2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于33学语文到昭熠成就幸福人生31正（主）视图侧（左）视图13俯视图（A）32cm3（B）2cm3（C）3cm3（D）9cm3（3）设i为虚数单位，如果复数z满足(12)5izi，那么z的虚部为（A）1（B）1（C）i（D）i（4）已知(0,1)m，令log2ma，2bm，2mc，那么,,abc之间的大小关系为（A）bca（B）bac（C）abc（D）cab（5）已知直线l的倾斜角为，斜率为k，那么“3”是“3k”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件学语文到昭熠（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（6）已知函数11,02()ln,2xfxxxx，如果关于x的方程()fxk有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是（A）(1,)（B）3[,)2（C）32[,)e（D）[ln2,)（7）过抛物线220)ypxp（的焦点F的直线交抛物线于,AB两点，点O是原点，如果3BF，BFAF，23BFO，那么AF的值为()A1()B32()C3（D）6（8）如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1,,EF分别是棱AA，CC的中点，过直线,EF的平面分别与棱BB、DD交于,MN，设BMx，)1,0(x，给出以下四个命题：①四边形MENF为平行四边形；②若四边形MENF面积)(xfs,)1,0(x,则)(xf有最小值；③若四棱锥AMENF的体积)(xpV，)1,0(x，则)(xp常函数；④若多面体MENFABCD的体积()Vhx，1(,1)2x，则)(xh为单调函数．其中假．命题．．为()A①()B②()C③（D）④学语文到昭熠MNFEC'D'B'A'CDAB第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9）在ABC中，ab、分别为角AB、的对边，如果030B，0105C，4a，那么b.（10）在平面向量a,b中，已知(1,3)a，(2,y)b.如果5ab，那么y=；如果-a+bab，那么y=.（11）已知,xy满足满足约束条件+10,2,3xyxyx，那么22zxy的最大值为___.（12）如果函数2()sinfxxxa的图象过点(π,1)且()2ft．那么a；()ft．学语文到昭熠（13）如果平面直角坐标系中的两点(1,1)Aaa，(,)Baa关于直线l对称，那么直线l的方程为__.（14）数列{}na满足：*112(1,)nnnaaannN，给出下述命题：①若数列{}na满足：21aa，则*1(1,)nnaannN成立；②存在常数c，使得*()nacnN成立；③若*(,,,)pqmnpqmnN其中，则pqmnaaaa；④存在常数d，使得*1(1)()naandnN都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题共13分）设{}na是一个公比为(0,1)qqq等比数列，1234,3,2aaa成等差数列,且它的前4项和415s.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）令2,(1,2,3......)nnbann,求数列{}nb的前n项和.EBCADP（16）（本小题共13分）已知函数22()sin23sincoscos()fxxxxxxR．（Ⅰ）求()fx的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若为第四象限角，且3cos5，求7π()212f的值.（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，ABAP,E为棱PD的中点.（Ⅰ）证明:AECD；（Ⅱ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FMAC，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由.（18）（本小题共13分）已知椭圆22221xyab（0ab）的焦点是12FF、，且122FF，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F的直线l交椭圆于A，B两点，求22||||AFFBg的取值范围．（19）（本小题共14分）已知函数()(ln)xefxaxxx．（Ⅰ）当1a时，试求()fx在(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）当0a时，试求()fx的单调区间；（Ⅲ）若()fx在(0,1)内有极值，试求a的取值范围．（20）（本小题共13分）已知曲线nC的方程为：*1()nnxynN.（Ⅰ）分别求出1,2nn时，曲线nC所围成的图形的面积;（Ⅱ）若()nSnN表示曲线nC所围成的图形的面积，求证：()nSnN关于n是递增的;(III)若方程(2,)nnnxyznnN，0xyz，没有正整数解，求证：曲线(2,)nCnnN上任一点对应的坐标(,)xy，,xy不能全是有理数.东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测参考答案高三数学（理科）2016.1学校___________班级_____________姓名____________考号___________本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号12345678答案AABCBBAD第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9）22（10）21;3（11）58（12）1;0（13）01yx（14）①④三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题共13分）设{}na是一个公比为(0,1)qqq等比数列，1234,3,2aaa成等差数列,且它的前4项和415s.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）令2,(1,2,3......)nnbann,求数列{}nb的前n项和.解：（Ⅰ）因为{}na是一个公比为(0,1)qqq等比数列，所以11nnaaq．因为1234,3,2aaa成等差数列，所以213642,aaa即2320qq．解得2,1()qq舍.又它的前4和415s，得41(1)15(0,1)1aqqqq，解得11a．所以12nna.…………………9分（Ⅱ）因为2nnban，所以11122(n1)1nnnniiiiibain．………………13分（16）（本小题共13分）已知函数22()sin23sincoscos()fxxxxxxR．（Ⅰ）求()fx的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若为第四象限角，且3cos5，求7π()212f的值.解：（Ⅰ）由已知22()sin23sincoscosfxxxxx3sin2cos2π2sin(2).6xxx所以最小正周期2π2ππ.2Tω===由ππ3π2π22π,.262kxkkz+???得2π10πππ,36kxkkz+＃+?故函数()fx在[0,π]上的单调递减区间15π,π36…………9分（Ⅱ）因为为第四象限角，且3cos5，所以4sin5．所以7π()212f=7ππ2sin()2sin6685．…………………13分（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，ABAP,E为棱PD的中点.EBCADP（Ⅰ）证明:AECD；（Ⅱ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FMAC，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由.（Ⅰ）证明：因为PA底面ABCD，所以PACD．因为ADCD，所以CDPAD面.由于AEPAD面，所以有CDAE．…………………４分（Ⅱ）解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设2ABAP，可得(2,0,0)B，(2,2,0)C，()0,2,0D，()0,0,2P.由E为棱PD的中点，得(0,1,1)E.(0,1,1)AEuuuv向量(2,2,0)BDuuur,(2,0,2)PBuur.设(,,)nxyzr为平面PBD的法向量，则00PBnBDn即022022zxyx．不妨令1y=，可得n（1,1,1）为平面PBD的一个法向量.所以6cos,3AEEFuuuvuuuv.所以，直线EF与平面PBD所成角的正弦值为63.…………………11分（Ⅲ）解：向量(2,2,2)CPuur，(2,2,0)ACuuur，(2,0,0)ABuuur.由点M在棱PC上，设,(01)CMCPuuuruur.故(12,22,2)FMFCCMuuuruuuruuur.zyxEBCDAP由ACFM，得0ACFM，因此，(1-2)2(2-2)20，解得34.所以13PMMC.…………………13分（18）（本小题共13分）已知椭圆22221xyab（0ab）的焦点是12FF、，且122FF，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点2F的直线l交椭圆于A，B两点，求22||||AFFBg的取值范围．解（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，由题意知2221222abccac，，解得2,3ab．所以椭圆的标准方程为22143xy．……………………………5分（Ⅱ）因为2(1,0)F，当直线l的斜率不存在时，3(1,)2A，3(1,)2B，则229||||4AFFBg，不符合题意.当直线l的斜率存在时，直线l的方程可设为(1)ykx．由22(1),1,43ykxxy消y得2222(34)84120kxkxk（*）．设),(11yxA，),(22yxB，则1x、2x是方程（*）的两个根，所以2222834kxxk，212241234kxxk．所以2222111||(1)11AFxykx，所以2222222||(1)11FBxykx所以2221212||||(1)()1AFFBkxxxxg222224128(1)13434kkkkk229(1)34kk2229(1)3491(1).434kkk当20k时，22||||AFFBg取最大值为3，所以22||||AFFBg的取值范围9,34.又当k不存在，即ABx轴时，22||||AFFBg取值为94．所以22||||AFFBg的取值范围9,34.…………13分（19）（本小题共14分）已知函数e()(ln)xfxaxxx