上海市虹口区2018年高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word解析版

2018年上海市虹口区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{an}，Sn是它的前n项和，则=．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=．5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是．7．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF2的内切圆的面积为π，则=．11．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列Pn（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{an}的通项公式an=．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π）C．D．（0，π]14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017B．1513C．D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．21．（18分）已知无穷数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求Sn；（2）如果对于一切正整数n，均有an•an+1=Sn，求Sn；（3）如果对于一切正整数n，均有an+an+1=3Sn，证明：a3n﹣1能被8整除．2018年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为（﹣∞，2）．【考点】33：函数的定义域及其求法．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】直接利用对数的真数大于0，求解即可．【解答】解：要使函数有意义，可得2﹣x＞0，即x＜2．函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为：（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．【点评】本题考查函数的定义域的求法，是基础题．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=0．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的定义及性质，可得答案．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），f（0）=0，即f（﹣1）+f（0）+f（1）=0，故答案为：0．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于基础题．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{an}，Sn是它的前n项和，则=1．【考点】89：等比数列的前n项和；8J：数列的极限．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；52：导数的概念及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，由等比数列的前n项和公式可得Sn==1﹣（）n，计算其极限即可得答案．【解答】解：根据题意，等比数列{an}的首项和公比均为，则其前n项和Sn==1﹣（）n，则=1；故答案为：1．【点评】本题等比数列的性质，涉及极限的计算，关键是正确求出数列{an}的前n项和．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=﹣．【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由已知的a：b：c的比值设出a，b及c，然后利用余弦定理表示出cosC，把设出的a，b及c代入，化简可得cosC的值．【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC===﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了余弦定理，以及比例的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是[，]．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】15：综合题；33：函数思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得a2+b2=1，令a=cosθ，b=sinθ，可得ab=cosθ•sinθ=，则a•b的范围可求．【解答】解：∵z=a+bi（a，b∈R），且|z|=1，∴，即a2+b2=1，令a=cosθ，b=sinθ，则ab=cosθ•sinθ=，∴ab∈[，]．故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，考查圆的参数方程及三角函数的最值，是中档题．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是18．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】11：计算题；32：分类讨论；35：转化思想；5O：排列组合．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，分别求出每一种情况的选法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，分2种情况讨论：①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，有C31C32=9种选法，②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有C31C32=9种选法，则一共有9+9=18种选法；故答案为：18【点评】本题考查排列、组合的应用，注意依据题意，分析可能的选法情况，进而分2种情况讨论．7．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】设三棱锥P﹣ABC的底面积为S，高为h，由已知求出三棱锥N﹣MBC的底面积与高，代入棱锥体积公式作比得答案．【解答】解：如图，设三棱锥P﹣ABC的底面积为S，高为h，∵M是AB的中点，∴，∵N是PC的中点，∴三棱锥N﹣MBC的高为，则，，∴=．故答案为：．【点评】本题考查棱锥体积的求法，考查逻辑思维能力及推理运算能力，是中档题．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，求出抛物线焦点的坐标，即可得双曲线顶点的坐标，分析可得a2=9，即可得双曲线的方程，分析双曲线焦点的位置，由双曲线的渐近线方程，计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2=12x的焦点为（3，0），若双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的顶点坐标为（±3，0），则有a2=9，则双曲线的方程为：﹣y2=1，双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线中a2的值．9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．【考点】H2：正弦函数的图象；H7：余弦函数的图象．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据正余弦函数的图象可得：y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC是等腰三角形，底边长为一个周期T=2π，高为，可得△ABC的面积．【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC是等腰三角形，∵底边长为一个周期T=2π，高为，∴△ABC的面积=2=，故答案为：．【点评】本题考查了正余弦函数的图象的交点问题，熟悉图象特征和交点的位子．属于基础题．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF2的内切圆的面积为π，则=4．【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知△MNF2内切圆半径r=1，从而求出△MNF2面积【解答】解：∵椭圆+的左右焦点分别为F1，F2，a=2，过焦点F1的直线交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，△MNF2的内切圆的面积为π，∴△MNF2内切圆半径r=1．∴△MNF2面积S=×1×（MN+MF2+MF2）=2a=4，故答案为：4【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆性质．11．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列Pn（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{an}的通项公式an=．【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有【专题】31：数形结合；34：方程思想；54：等差数列与等比数列；5A：平面向量及应用．【分析】如图所示，D是BC的中点，可得=+=+，又=+，，化为：=（1﹣an﹣an+1）+，根据点列Pn（n∈N*）在线段AC上，可得1﹣an﹣an+1