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2019年上海市闵行区高考数学一模试卷一、填空题1.(3分)已知全集U=R,集合A={x|x2﹣3x≥0},则∁UA=.2.(3分)=.3.(3分)若复数z满足(1+2i)z=4+3i(i是虚数单位),则z=.4.(3分)方程=0的解为.5.(3分)等比数列{an}中,a1+a2=1,a5+a6=16,则a9+a10=.6.(3分)(1﹣2x)5的展开式中x3的项的系数是(用数字表示)7.(3分)已知两条直线l1:4x+2y﹣3=0,l2:2x+y+1=0,则ll与l2的距离为.8.(3分)已知函数f(x)=|x﹣1|(x+1),x∈[a,b]的值域为[0,8],则a+b的取值范围是.9.(3分)如图,在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中,与直线AC1异面的直线的条数为.10.(3分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,且4S=(a+b)2﹣c2,则cosC=.11.(3分)已知向量=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),且α﹣β=,若向量满足||=1,则||的最大值为.12.(3分)若无穷数列{an}满足:a1≥0,当n∈N*,n≥2时.|an﹣an﹣1|=max{a1,a2,…,an﹣1}(其中max{a1,a2,…,a,n﹣1}表示a1,a2,…,a,n﹣1中的最大项),有以下结论:①若数列{an}是常数列,则an=0(n∈N*)②若数列{an}是公差d≠0的等差数列,则d<0;③若数列{an}是公比为q的等比数列,则q>1④若存在正整数T,对任意n∈N*,都有an+T=an,则a1是数列{an}的最大项.则其中正确的结论是(写出所有正确结论的序号)二、选择题13.(3分)若a,b为实数,则“a<﹣1”是“>﹣1”的()A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分必要条件14.(3分)已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,α∩β=a,a∥b,则下面结论不可能成立的是()A.b⊄β,且b∥αB.b⊄aC.b∥α,且b∥βD.b与α,β都相交15.(3分)已知函数y=,(x≥a,a>0,b>0)与其反函数有交点,则下列结论正确的是()A.a=bB.a<bC.a>bD.a与b的大小关系不确定16.(3分)在平面直角坐标系中,已知向量=(1,2),O是坐标原点,M是曲线|x|+2|y|=2上的动点,则•的取值范围()A.[﹣2,2]B.[﹣]C.[﹣]D.[﹣]三、解答题17.如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2,D为棱BC的中点.(1)求该三棱柱的表面积;(2)求异面直线AB与C1D所成角的大小.18.已知抛物线C:y2=2px(p≠0).(1)若C上一点M(1,t)到其焦点的距离为3,求C的方程;(2)若P=2,斜率为2的直线l交C于两点,交x轴的正半轴于点M,O为坐标原点=0,求点M的坐标.19.在股票市场上,投资者常根据股价(每股的价格)走势图来操作,股民老张在研究某只股票时,发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点:每日股价y(元)与时间x(天)的关系在ABC段可近似地用函数y=asin(ωx+φ)+20(a>0,ω>0,0<ω<π)的图象从最高点A到最低点C的一段来描述(如图),并且从C点到今天的D点在底部横盘整理,今天也出现了明显的底部结束信号.老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示,且DEF段与ABC段关于直线l:x=34对称,点B,D的坐标分别是(12,20)(44,12).(1)请你帮老张确定a,ω,φ的值,并写出ABC段的函数解析式;(2)如果老张预测准确,且今天买入该只股票,那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍?20.对于函数y=f(x),若函数F(x)=f(x+1)﹣f(x)是增函数,则称函数y=f(x)具有性质A.(1)若f(x)=x2+2,求F(x)的解析式,并判断f(x)是否具有性质A;(2)判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题,并说明理由;(3)若函数f(x)=kx2+x3(x≥0)具有性质A,求实数k的取值范围,并讨论此时函数g(x)=f(sinx)﹣sinx在区间[0,π]上零点的个数.21.对于数列{an},若存在正数p,使得an+1≤pan对任意n∈N*都成立,则称数列{an}为“拟等比数列”.(1)已知a>0,b>0且a>b,若数列{an}和{bn}满足:a1=,b1=且an+1=,bn+1=(n∈N*).①若a1=1,求b1的取值范围;②求证:数列{an﹣bn)(n∈N*)是“拟等比数列”;(2)已知等差数列{cn}的首项为c1,公差为d,前n项和为Sn,若c1>0,S4035>0,S4036<0,且{cn}是“拟等比数列”,求p的取值范围(请用c1,d表示).2019年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1.(3分)已知全集U=R,集合A={x|x2﹣3x≥0},则∁UA=(0,3).【考点】1F:补集及其运算.【专题】11:计算题;37:集合思想;49:综合法;5J:集合.【分析】可求出集合A,然后进行补集的运算即可.【解答】解:A={x|x≤0,或x≥3};∴∁UA=(0,3).故答案为:(0,3).【点评】考查描述法的定义,以及补集的运算.2.(3分)=.【考点】6F:极限及其运算.【专题】11:计算题;52:导数的概念及应用.【分析】由,,可得==.【解答】解:=.===,故答案为:.【点评】本题考查了极限及其运算,属简单题.3.(3分)若复数z满足(1+2i)z=4+3i(i是虚数单位),则z=2﹣i.【考点】A5:复数的运算.【专题】34:方程思想;49:综合法;5N:数系的扩充和复数.【分析】利用复数的运算性质即可得出.【解答】解:(1+2i)z=4+3i(i是虚数单位),∴(1﹣2i)(1+2i)z=(1﹣2i)(4+3i),∴5z=10﹣5i,可得z=2﹣i.故答案为:2﹣i.【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4.(3分)方程=0的解为log25.【考点】OM:二阶行列式的定义.【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5R:矩阵和变换.【分析】利用行列式展开法则列出方程,从而能求出结果.【解答】解:∵方程=0,∴2x﹣2﹣3=0,解得x=log25.故答案为:log25.【点评】本题考查二阶行列式的求法,考查行列式展开法则等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.5.(3分)等比数列{an}中,a1+a2=1,a5+a6=16,则a9+a10=256.【考点】87:等比数列的性质.【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;54:等差数列与等比数列.【分析】根据题意,设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的通项公式可得a5+a6=q4×a1+q4×a2=q4(a1+a2)=16,解可得q4的值,又由a9+a10=q8×a1+q8×a2=q8(a1+a2),计算可得答案.【解答】解:根据题意,设等比数列{an}的公比为q,若a1+a2=1,则a5+a6=q4×a1+q4×a2=q4(a1+a2)=16,解可得:q4=16,则a9+a10=q8×a1+q8×a2=q8(a1+a2)=256,故答案为:256.【点评】本题考查等比数列的性质,关键是求出等比数列的公比,属于基础题.6.(3分)(1﹣2x)5的展开式中x3的项的系数是﹣80(用数字表示)【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题.【分析】在(1﹣2x)5的展开式中,令通项x的指数等于3,求出r,再求系数【解答】(1﹣2x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(﹣2x)r,令r=3,得x3的项的系数是C53(﹣2)3=﹣80故答案为:﹣80【点评】本题考查二项式定理的简单直接应用,属于基础题.7.(3分)已知两条直线l1:4x+2y﹣3=0,l2:2x+y+1=0,则ll与l2的距离为.【考点】IU:两条平行直线间的距离.【专题】35:转化思想;49:综合法;5B:直线与圆.【分析】先把直线方程中x、y的系数化为相同的,再利用两条平行直线间的距离公式d=,求出他们之间的距离.【解答】解:两条直线l1:4x+2y﹣3=0,l2:2x+y+1=0,即两条直线l1:4x+2y﹣3=0,l2:4x+2y+2=0,它们之间的距离为d==,故答案为:.【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式d=应用,注意未知数的系数必需相同,属于基础题.8.(3分)已知函数f(x)=|x﹣1|(x+1),x∈[a,b]的值域为[0,8],则a+b的取值范围是[2,4].【考点】34:函数的值域.【专题】33:函数思想;44:数形结合法;51:函数的性质及应用.【分析】写出分段函数解析式,作出图形,数形结合得答案.【解答】解:数f(x)=|x﹣1|(x+1)=.作出函数的图象如图:由图可知,b=3,a∈[﹣1,1],则a+b∈[2,4].故答案为:[2,4].【点评】本题考查函数的值域,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.9.(3分)如图,在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中,与直线AC1异面的直线的条数为12.【考点】LN:异面直线的判定.【专题】11:计算题;31:数形结合;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.【分析】结合正方体的结构特征,利用列举法能求出在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中,与直线AC1异面的直线的条数.【解答】解:在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中,与直线AC1异面的直线有:A1D1,DD1,CD,A1B1,BC,BB1,B1D1,B1C,D1C,BD,A1D,A1B,共12条.故答案为:12.【点评】本题考查异面直线的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理能力与计算能力,是基础题.10.(3分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,且4S=(a+b)2﹣c2,则cosC=0.【考点】HR:余弦定理.【专题】35:转化思想;49:综合法;58:解三角形.【分析】由余弦定理和三角形面积公式得sinC﹣cosC=1,结合平方关系得答案.【解答】解:∵4S=(a+b)2﹣c2,∴4×absinC=a2+b2﹣c2+2ab,由余弦定理得:2absinC=2abcosC+2ab,∴sinC﹣cosC=1,又∵sin2C+cos2C=1,∴sinCcosC=0,又∵在△ABC中,sinC≠0,∴cosC=0.故答案为:0.【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式、平方关系,考查计算能力.11.(3分)已知向量=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),且α﹣β=,若向量满足||=1,则||的最大值为.【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算;GL:三角函数中的恒等变换应用.【专题】11:计算题;5A:平面向量及应用.【分析】首先解决,结合两角差的余弦可以得到的模,即对应点的轨迹,进而得到对应点的轨迹,问题得解.【解答】解:∵,∴=2+2cos(α﹣β)=3,令,则||=,∴D点轨迹为以原点为原心,半径为的圆,令,则||=||=1,∴C点轨迹是以原点为原心,半径为的两个圆及其之间的部分,∴最大值为,即||最大值为.故答案为:.【点评】此题考查了向量的模与点的轨迹,三角公式等,难度不大.12.(3分)若无穷数列{an}满足:a1≥0,当n∈N*,n≥2时.|an﹣an﹣1|=max{a1,a2,…,an﹣1}(其中max{a1,a2,…,a,n﹣1}表示a1,a2,…,a,n﹣1中的最大项),有以下结论:①若数列{an}是常数列,则an=0(n∈N*)②若数列{an}是公差d≠0的等差数列,则d<0;③若数列{an}是公比为q的等比数列,则q>1④若存在正整数T,对任意n∈N*,都有an+T=an,则a1是数列{an}的最大项.则其中正确的结论是①
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