2019-2020学年广东省中山市纪念中学九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年广东省中山市纪念中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列手机应用图标中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（）A．0.620B．0.618C．0.610D．10003．（3分）关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的一个根是x1＝3，则它的另一个根x2是（）A．0B．1C．﹣1D．24．（3分）已知点A（−√2，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y=−2𝑥的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y2＜y3＜y15．（3分）如图，⊙O的半径为3，BC是⊙O的弦，直径AD⊥BC，∠D＝30°，则𝐵𝐶̂的长为（）A．𝜋2B．πC．2πD．3π6．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围值是（）A．𝑘＜32B．𝑘≤32C．k＜32且k≠1D．k≤32且k≠17．（3分）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A．15πcm2B．15cm2C．20πcm2D．20cm28．（3分）正六边形的边心距与半径之比为（）A．2：3B．3：4C．√3：2D．1：29．（3分）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（）尺．A．50B．45C．5D．4.510．（3分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（）A．AB：AD＝3：4B．当△BPQ是等边三角形时，t＝5秒C．当△ABE∽△QBP时，t＝7秒D．当△BPQ的面积为4cm2时，t的值是√10或475秒二、填空题（每小题4分，共28分）11．（4分）方程x2＝2020x的解是．12．（4分）周末小明到商场购物，付款时想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，则选择“微信”支付方式的概率为．13．（4分）二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x＝．14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为．15．（4分）⊙O的半径是2，弦AB＝2，点C为⊙O上的一点（不与点A、B重合），则∠ACB的度数为．16．（4分）等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是．17．（4分）如图，△OAB中，∠ABO＝90°，点A位于第一象限，点O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，若双曲线y=𝑘𝑥（x＞0）与△OAB的边AO、AB分别交于点C、D，点C为AO的中点，连接OD、CD．若S△OBD＝3，则S△OCD为．三、解答题（每小题6分，共18分）18．（6分）解方程：x2+2√5x﹣1＝019．（6分）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1），将△BOC绕点O逆时针旋转90度，得到△B1OC1，画出△B1OC1，并写出B、C两点的对应点B1、C1的坐标，20．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，从两口袋中分别各摸一个小球．求摸出小球数字之和为5的概率四、解答题（每小题8分，共24分）21．（8分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售16件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元？最大利润是多少？22．（8分）如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．23．（8分）如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2=𝑘2𝑥在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．（1）k1＝，k2＝，b＝．（2）直接写出不等式y2＞y1的解集；（3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，求△PED的面积S的最大值．四、解答题（每小题10分，共20分）24．（10分）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，射线EF与线段AB相交于点G，与射线CA相交于点Q．（1）求证：△BPE∽△CEQ；（2）求证：QE平分∠CQP；（3）当BP＝2，CQ＝9，求PQ的长．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（11，−2512）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，8）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）连接AC，在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2019-2020学年广东省中山市纪念中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形故选：B．2．【解答】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故选：B．3．【解答】解：由根与系数的关系可知：3x2＝﹣3，解得x2＝﹣1．故选：C．4．【解答】解：∵k＝﹣2＜0，∴反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大；又∵B（1，y2）、C（2，y3）是双曲线上的两点，且2＞1＞0，∴y2＜y3＜0；又∵点A（−√2，y1）在第二象限，故0＜y1，∴y2＜y3＜y1．故选：D．5．【解答】解：连接OC，如图所示：∵直径AD⊥BC，∴𝐴𝐵̂=𝐴𝐶̂，∴∠AOB＝∠AOC，∵∠AOC＝2∠D＝60°，∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，∴𝐵𝐶̂的长=120𝜋×3180=2π；故选：C．6．【解答】解：根据题意得：△＝b2﹣4ac＝4﹣8（k﹣1）＝12﹣8k＞0，且k﹣1≠0，解得：k＜32且k≠1．故选：C．7．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×5÷2＝15π．故选：A．8．【解答】解：如右图所示，边长AB＝2；又该多边形为正六边形，故∠OBA＝60°，在Rt△BOG中，BG＝1，OG=√3，所以AB＝2，即半径、边心距之比为√3：2．故选：C．9．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，由题意得：𝑥15=1.50.5，解得：x＝45，答：竹竿的长度为45尺，故选：B．10．【解答】解：由图象可知，AD＝BC＝BE＝5，CD＝AB＝4，AE＝3，DE＝2，A、∴AB：AD＝5：4，故A错误，B、∵tan∠ABE=𝐴𝐸𝐴𝐵=34，∴∠ABE≠30°∴∠PBQ≠60°，∴点P在ED时，有可能△PBQ是等边三角形，∵BE＝BC，∴点P到点E时，点Q到点C，∴点P在线段AD中点时，有可能△PBQ是等边三角形，∵AE＞DE，∴点P不可能到AD的中点，∴△PBQ不可能是等边三角形，故B错误，C、∵△ABE∽△QBP，∴点E只有在CD上，且满足𝐵𝐶𝐴𝐵=𝐶𝑃𝐴𝐸，∴54=𝐶𝑃3，∴CP=154．∴t＝（BE+ED+DQ）÷1＝5+2+（4−154）=294．故C错误，D、①如图（1）在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝5sin∠AEB=𝐴𝐵𝐵𝐸=45，∴sin∠CBE=45∵BP＝t，∴PG＝BPsin∠CBE=45t，∴S△BPQ=12BQ×PG=12×t×45t=25𝑡2=4，∴t=−√10（舍）或t=√10，②当点P在CD上时，S△BPQ=12×BC×PC=12×5×（5+2+4﹣t）=52×（11﹣t）＝4，∴t=475，∴当△BPQ的面积为4cm2时，t的值是√10或475秒，故D正确，故选：D．二、填空题（每小题4分，共28分）11．【解答】解：∵x2﹣2020x＝0，∴x（x﹣2020）＝0，则x＝0或x﹣2020＝0，解得x1＝0，x2＝2020，故答案为：x1＝0，x2＝2020．12．【解答】解：一共有3种等可能出现的结果，其中选择“微信”的有1种，所以从三种支付方式中选一种方式进行支付，则选择“微信”支付方式的概率为13，故答案为：13．13．【解答】解：∵函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），且两点的纵坐标相等，∴A、B关于抛物线的对称轴对称，∴对称轴为：直线x=−9+32=−3，故答案为：﹣314．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，∴AC＝AC1＝3，∠CAC1＝60°，∴∠BAC1＝90°，∴BC1=√𝐴𝐵2+𝐴𝐶12=√16+9=5，故答案为：5．15．【解答】解：如图，连接OA，OB．∵AO＝BO＝2，AB＝2，∴△ABO是等边三角形，∴∠AOB＝60°．若点C在优弧𝐴𝐶𝐵̂上，则∠BCA＝30°；若点C在劣弧𝐴𝐵̂上，则∠BCA=12（360°﹣∠AOB）＝150°；综上所述：∠BCA的度数为30°或150°．故答案为30°或150°．16．【解答】解：当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，解得：k＝27，此时原方程为x2﹣12x+27＝0，即（x﹣3）（x﹣9）＝0，解得：x1＝3，x2＝9，∵3+3＝6＜9，∴3不能为等腰三角形的腰；当3为等腰三角形的底时，方程x2﹣12x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣12）2﹣4k＝144﹣4k＝0，解得：k＝36，此时x1＝x2=−−122=6，∵3、6、6可以围成等腰三角形，∴k＝36．故答案为：36．17．【解答】解：过C作CE⊥OB于E，∵点C、D在双曲线y=𝑘𝑥（x＞0）上，∴S△COE＝S△BOD，∵S△OBD＝3，∴S△COE＝3，∵CE∥AB，∴△COE∽△AOB，∴𝑆△𝐶𝑂𝐸𝑆△𝐴𝑂𝐵=（𝑂𝐶𝑂𝐴）2，∵C是OA的中点，∴OA＝2OC，∴𝑆△𝐶𝑂𝐸𝑆△𝐴𝑂𝐵=（𝑂𝐶𝑂𝐴）2=14，∴S△AOB＝4×3＝12，∴S△AOD＝S△AOB﹣S△BOD＝12﹣3＝9，∵C是OA的中点，∴S△ACD＝S△COD，∴S△COD=92，故答案为92．三、解答题（每小题6分，共18分）18．【解答】解：x2+2√5x﹣1＝0，∵a＝1，𝑏=2√5，c＝﹣1，∴△=(2√5)2−4×1×(−1)=24＞0，则𝑥=−2√5±2√62=−√5±√6，即𝑥1=−√5+√6，𝑥2=−√5−√6．19．【解答】解：如图，△B1OC1为所作，点B1，C1的坐标分别为（1，3），（﹣1，2）．20．【解答】解：根据题