概率与数理统计习题选3

第三章随机变量与分布函数1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p或p1向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以nS表示时间n时质点的位置）。2、设为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求的概率分布。3、c应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(NkNckf（2）,,2,1,!)(kkckfk0。4、证明函数)(21)(||xexfx是一个密度函数。5、若的分布函数为N（10，4），求落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。6、若的分布函数为N（5，4），求a使：（1）90.0}{aP；（2）01.0}|5{|aP。7、设}{)(xPxF，试证)(xF具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(F1)(F。8、试证：若1}{,1}{12xPxP，则)(1}{21xxP。9、设随机变量取值于[0，1]，若}{yxP只与长度xy有关（对一切10yx），试证服从[0，1]均匀分布。10、若存在上的实值函数)(Q及)(D以及)(xT及)(xS，使)}()()()(exp{)(xSDxTQxf，则称},{f是一个单参数的指数族。证明（1）正态分布),(20mN，已知0m，关于参数；（2）正态分布),(200mN，已知0，关于参数m；（3）普阿松分布),(kp关于都是一个单参数的指数族。但],0[上的均匀分布，关于不是一个单参数的指数族。11、试证)2(22),(cybxyaxkeyxf为密度函数的充要条件为,0,0,02acbca2back。12、若)(),(21yfxf为分布密度，求为使),()()(),(21yxhyfxfyxf成为密度函数，),(yxh必须而且只需满足什么条件。13、若),(的密度函数为其它,00,0,),()2(yxAeyxfyx，试求：（1）常数A；（2）}1,2{P；（3）的边际分布；（4）}2{P；（5）)|(yxf；（6）}1|2{P。14、证明多项分布的边际分布仍是多项分布。15、设二维随机变量),(的联合密度为ykkexyxkkyxp112121)()()(1),(yxkk0,0,021，试求与的边际分布。16、若)(),(),(321xfxfxf是对应于分布函数)(),(),(321xFxFxF的密度函数，证明对于一切)11(，下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数)(),(),(321xfxfxf：)(),(),(321xfxfxf]}1)(2[]1)(2[]1)(2[1){(),(),(332211332211xFxFxFxfxfxf。17、设与是相互独立的随机变量，均服从几何分布,2,1,),(1kpqpkgk。令),max(，试求（1）),(的联合分布；（2）的分布；（3）关于的条件分布。18、（1）若),(的联合密度函数为其它,010,0,4),(yyxxyyxf，问与是否相互独立（2）若),(的联合密度函数为其它,010,0,8),(yyxxyyxf，问与是否相互独立19、设),,(的联合密度函数为其它时当,0202020),sinsinsin1(81),,(3zyxzyxzyxp试证：,,两两独立，但不相互独立。20、设),(具有联合密度函数其它,01||,1||,41),(yxxyyxp，试证与不独立，但2与2是相互独立的。21、若1与2是独立随变量，均服从普要松分布，参数为12及，试直接证明（1）21具有普承松分布，参数为21；（2）knkknnkP212211211}|{。22、若,相互独立，且皆以概率21取值+1及1，令，试证,,两两独立但不相互独立。23、若服从普阿松分布，参数为，试求（1）ba；（2）2的分布。24、设的密度函数为)(xp，求下列随机变量的分布函数：（1）1，这里0}0{P；（2）tg；（3）||。25、对圆的直径作近似度量，设其值均匀分布于)(ba内，试求圆面积的分布密度。26、若,为相互独立的分别服从[0，1]均匀分布的随机变量，试求的分布密度函数。27、设,相互独立，分别服从)1,0(N，试求的密度函数。28、若,是独立随机变量，均服从)1,0(N，试求VU,的联合密度函数。29、若n,,,21相互独立，且皆服从指数分布，参数分别为n,,,21，试求),,,min(21n的分布。30、在),0(a线段上随机投掷两点，试求两点间距离的分布函数。31、若气体分子的速度是随机向量),,(zyxV，各分量相互独立，且均服从),0(2N，试证222zyxS斑点服从马克斯威尔分布。32、设,是两个独立随机变量，服从)1,0(N，服从自由度为n的2x分布,令nt//，试证t的密度函数为)1(212121)1(21)(nnnxnnnxP这分布称为具有自由度n的t分布在数理统计中十分重要。33、设,,有联合密度函数其它时当,00,0,0,)1(6),,(4zyxzyxzyxf，试求U的密度函数。34、若,独立，且均服从)1,0(N，试证22U与V是独立的。35、求证，如果与独立，且分别服从分布),(1rG和),(2rG，则与也独立。36、设独立随机变量,均服从其它,00,)(xexpx，问与是否独立37、若（,）服从二元正态分布（），试找出与相互独立的充要条件。38、对二元正态密度函数6514222221exp21),(22yxxyyxyxp，（1）把它化为标准形式（）；（2）指出rba21,,,；（3）求)(xpi；（4）求)|(yxp。39、设212143237,01Ba，试写出分布密度（），并求出),(21的边际密度函数。40、设,是相互独立相同分布的随机变量，其密度函数不等于0，且有二阶导数，试证若与相互独立，则随机变量,,,均服从正态分布。41、若f是上单值实函数，对1RB，记})(:{)(1BfBf。试证逆映射1f具有如下性质：（1）)(11BfBf;（2）)(11BfBf;（3）)()(11BfBf.42、设随机变量的密度函数是fxcxx()2010其它（1）求常数C；（2）求使得()pa=()pa.43、一个袋中有k张卡写有,1,2,,kkn，现从袋中任取一张求所得号码数的期望。44、设2,,~(,)rvNm，在x的条件密度分布是Pyxyx(|)()12222，求y的条件下的密度pxy(|)45、设与独立同服从(0,)a上的均匀分布，求X的分布函数与密度函数。46、设(,)的联合分布密度为2()0,0(,)0xyAexyfxy其它，（1）.求常数A；（2）求给定时的条件密度函数。47、在(0,4)中任取两数，求其积不超过4的概率。48、若(,)的分布列是（见下表）(1)求出常数A;(2)求出=2时的条件分布列。Ч-10111/61/81/821/121/4A31/241/241/2449、设(,)独立的服从(0,1)N分布，令,-UV，求(,)UV的联合密度函数及边际密度函数。50、设随机变量的密度函数为PXX()40301X其它，(1).求常数a，使P{a}=P{a}；(2).求常数b，使P{b}=。51、地下铁道列车运行的间隔时间为2分钟，旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望及均方差。52、设二维随机变量(,)的联合密度函数为：6(2),01,01(,)0xyxyxypxy其它，(1)求=2+3的密度函数；(2)求|(|)pyx;(3)11{|}22p53、若二维随机变量(,)的密度函数为：(2)2,0,0(,)0,xyexyPxy其它，1)求的密度函数；2)求(2)P；（3）{1|2}P54、若2,~(,)rvNa，求a的密度函数。55、将两封信随机地往编号为1,2,3,4的四个邮筒内投，以k表示第k个邮筒内信的数目，求：(1)1,2()的联合分布列；2)21的条件下，1的条件分布。56、若,~(0,1)rvN，求2的密度函数。57、某射手在射击中,每次击中目标的概率为(01)PP，射击进行到第二次击中目标为止，用k表示第K次击中目标时射击的次数(1,2)K，求1和2的联合分布和条件分布。58、进行独立重复试验，设每次试验成功的概率为p。将试验进行到出现r次成功为止，以X表示所需试验的次数。求X的分布列。59、已知某种类型的电子管的寿命X（以小时计）服从指数分布，其概率密度为10001,0()10000,xexfx其它，一台仪器中装有5只此类型电子管，任一只损坏时仪器便不能正常工作。求仪器正常工作1000小时以上的概率。60、设连续随机变量X的概率密度为2,0()0,kxAxexfx其它，其中k为已知常数。求：（1）常数A；（2）10PXk。61、设离散随机变量X的分布列为：求：（1）X的分布函数()Fx；（2）32PX，14PX，14PX62、从一批含有13只正品、2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，求抽得次品数X的分布列及分布函数。63、（1）设连续随机变量X的概率概率为()Xfx，求3YX的概率密度。（2）设X服从指数分布()E。求3YX的概率密度。]64、对圆片直径进行测量，测量值X服从均匀分布(5,6)U。求圆面积Y的概率密度。65、设电压sinVA，其中A是一个正常数，相角是一个随机变量，服从均匀分布,22U，求电压V的概率密度。66、箱子里装有12件产品，其中2件是次品。每次从箱子里任取一件产品，共取2次。定义随机变量,XY如下0,1,X若第1次取出正品若第1次取出次品，0,1,Y若第2次取出正品若第2次取出次品。分别就下面两种情况求出二维随机向量(,)XY的联合分布列和关于,XY的边缘分布列：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。67、一个大袋子中，装有3个桔子，2个苹果，3个梨。今从袋中随机抽出4个水果。若X为为桔子数，Y为苹果数，求(,)XY的联合分布列。68、把一枚硬币连掷3次，以X表示在3次中出现正面的次数，Y表示在3次中出现正面的次数与出现反面的次数的绝对值，求(,)XY的联合分布列。69、设二维随机向量的概率密度为：(6),02,24(,)0,kxyxyfxy其它。求（1）k；（2）{1,3}PXY；（3）{1.5}PX；（4