2021年新高考数学全国卷模拟(附参考答案和详解)

第1页（共13页）绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（全国卷Ⅰ）数学（适用新高考地区）总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数2(2i)对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合{|3213}Axx，集合B为函数lg(1)yx的定义域，则ABI（）A.(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2]3.已知向量(,3)ka，(1,4)b，(2,1)c，且(23)abc，则实数k（）A.92B.0C.3D.1524.使13nxxx()nN的展开式中含有常数项的最小的n为（）A.4B.5C.6D.75.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)频数234542则样本数据落在区间[10,40)的频率为（）A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65第2页（共13页）6.已知过点(2,2)P的直线与圆22(1)5xy相切，且与直线10axy垂直，则a（）A.12B.1C.2D.127.命题存在一个无理数，它的平方是有理数的否定是（）A.任意一个有理数，它的平方是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数8.已知50,log,lg,510dbbabc，则下列等式一定成立的是（）A.dacB.acdC.cadD.dac二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）A.甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差10.如果双曲线的离心率512e，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题，其中正确命题的有（）A.双曲线221251xy是黄金双曲线B.双曲线222151xy是黄金双曲线C.在双曲线22221xyab中，1F为左焦点，2A为右顶点，1(0,)Bb，若11290FBAo，则该双曲线是黄金双曲线第3页（共13页）D.在双曲线22221xyab中，过焦点2F作实轴的垂线交双曲线于M，N两点，O为坐标原点，若120MONo，则该双曲线是黄金双曲线11.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列4个命题，其中真命题有（）A.若m，nP，则mnPB.若m，nP，则mnC.若m，m，则PD.若mP，nP，则mnP12.已知()fx为定义在R上的偶函数，当0x时，有(1)()fxfx，且当[0,1)x时，2()log(1)fxx．给出下列命题，其中正确的命题的为（）A.(2016)(2017)0ffB.函数()fx在定义域上是周期为2的周期函数C.直线yx与函数()fx的图像有1个交点D.函数()fx的值域为(1,1)第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分。13.函数π3sin24yx的最小正周期为.14.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是．（结果用最简分数表示）15.在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线24yx的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60o，则OAFV的面积为．16.已知正三棱锥-PABC，点,,,PABC都在半径为3的球面上．若,,PAPBPC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为．第4页（共13页）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知{}na为等差数列，且36a，60a．（1）求{}na的通项公式；（2）若等比数列{}nb满足18b，2123baaa，求{}nb的前n项和公式．18.（12分）在ABCV中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知2c，π3C．（1）若ABCV的面积等于3，求a，b；（2）若sinsin()2sin2CBAA，求ABCV的面积．第5页（共13页）19.（12分）现有甲乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击．（1）求该射手恰好命中一次的概率；（2）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．20.（12分）如图，在四棱锥-PABCD中，底面ABCD是矩形，PAABCD底面，E是PC的中点．已知2AB，22AD，2PA．求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．第6页（共13页）21.（12分）已知椭圆22:24Cxy．（1）求椭圆C的离心率；（2）设O为原点，若点A在直线2y上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值．22.（12分）已知函数3()ln42xafxxx，其中aR，且曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线垂直于12yx．（1）求a的值；（2）求函数()fx的单调区间和极值．第7页（共13页）参考答案与解析第Ⅰ卷一、单项选择题.1.D【解析】因为(2i)234i，所以该复数对应的点位于第四象限.故选D．2.D【解析】{|3213}[1,2]Axx，(1,)B，(1,2]ABI．故选D．3.C【解析】23(23,6)kab，Q(23)abc，2(23)60k，3k．故选C．4.B【解析】展开式通项5211C(3)3CrnrrnrnrrrnnTxxxx，常数项要满足502nr，所以满足条件的最小的n为5．故选B．5.B【解析】数据落在10,40的频率为23490.452020.故选B．6.C【解析】由题意知点(2,2)P在圆22(1)5xy上，设切线的斜率为k，则20121k，解得12k，直线10axy的斜率为a，且与切线垂直，所以112a，解得2a．故选C．7.B【解析】由题知，原命题是一个存在命题，因此其否定形式为特称命题，“存在一个无理数”变为“任意一个无理数”，再把结论“它的平方是有理数”予以否定.故选B.8.B【解析】因为5log,lgbabc，所以5,10acbb．又510d，所以510(5)5acdcbcd，所以acd．故选B．二、多项选择题.9.AC【解析】根据条形统计图可知甲的中靶情况为4环、5环、6环、7环、8环；乙的中靶情况为5环、5环、5环、6环、9环，之后应用各个统计量的公式进行计算即可．故选AC.10.BC【解析】双曲线①中22a，251b，所以2512e，不是黄金双曲线；双曲线②中21a，2512b，则2352e，即512e，是黄金双曲线；双曲线③中，12110BABFuuuuruuur，即2bac，则512e，是黄金双曲线；第8页（共13页）双曲线④中，可得点(,3)Mcc，因为点M在双曲线上，代入双曲线方程有422450caca，所以25212e，不是黄金双曲线．故选BC.11.BC【解析】A错误，m，n可能异面；D错误，m，n可能相交或异面．故选BC.12.C【解析】根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线yx和函数()fx的图象如图所示，根据图象可知选项A中(2016)(2017)0ff正确；对于选项B，函数()fx在定义域上不是周期函数，所以B不正确；对于选项C，根据函数图象可知yx与()fx的图象有1个交点，所以C正确；对于选项D，根据图象，函数()fx的值域是(1,1)，所以D正确．故选ACD．第Ⅱ卷三、填空题.13.π【解析】2ππ2T.14.1318【解析】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为2529C131.C1815.3【解析】如图，第9页（共13页）过点A作准线的垂线段AM，设AFt，则AMt，12FNt，因为AMPNPFFN，所以122tt，所以4AFt，所以23AN，所以132OAFSOFANV．16.33【解析】因为PAPBPC、、两两互相垂直，所以正三棱锥-PABC的外接球就是以PAPBPC、、为棱的正方体的外接球，从而球心到截面ABC的距离即为球半径减去正三棱锥的高．设PAPBPCa，则223412aR，即2a．设正三棱锥-PABC的高为h，则23-11132223234PABCVh．解得233h．故球心到截面ABC的距离为233333．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）设等差数列{}na的公差为d．因为366,0,aa所以1126,50.adad解得110,2.ad所以10(1)2212.nann（2）设等比数列{}nb的公比为q．因为2123124,8,baaab所以824q，即3q．所以{}nb的前n项和公式为1(1)4(13).1nnnbqSq第10页（共13页）18.【解析】（1）由余弦定理及已知条件得，224abab，又因为ABCV的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab．联立方程组224,4,ababab解得2a，2b．（2）由题意得sin()sin()4sincos,BABAAA即sincos2sincosBAAA，当cos0A时，π2A，π6B，433a，233b，当cos0A时，得sin2sinBA，由正弦定理得2ba，联立方程组224,2,ababba解得233a，433b．所以ABCV的面积123sin23SabC．19.【解析】（1）记“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意知3()4PB，2()()3PCPD，由于ABCDBCDBCD，根据事件的独立性和互斥性得()PA()PBCDBCDBCD()()()PBCDPBCDPBCD()()()()()()PBPCPDPBPCPDPBPCPD7.36（2）根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，根据事件的独立性和互斥性得1(0)()[1()][1()][1()],36PXPBCDPBPCPD1(1)()()()(),12PXPBCDPBPCPD第11页（共13页）