拉格朗日乘数法在消费者均衡原则中的应用

拉格朗日乘数法在消费者均衡原则中的应用求条件极限（拉格朗日乘数法）一般地，我们所求的极限问题，对于函数的自变量除了限制在定义域内以外，再无其他条件了，所以有时也称无条件极限。对于函数的自变量还有附加条件的极限问题。（如，求表面积为a2，而体积为最大的长方体的体积问题。设三棱的长为x,y,z，体积V=xyz。自变量x,y,z还必须满足附加条件2(xy+yz+xz)=a2）这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值。求条件极限的一般方法（拉格朗日乘数法）•微观经济学研究消费者行为时，所要阐述的核心问题是消费者均衡的原则。所谓消费者均衡指的是一个有理性的消费者所采取的均衡购买行为。进一步说，它是指保证消费者实现效用最大化的均衡购买行为。•但人的需要或欲望是无限的，而满足需要的手段是有限的。所以微观经济学所说的效用最大化只能是一种有限制的效用最大化。而这种限制的因素就是各种商品的价格和消费者的货币收入水平。•那么如何才能实现在制约条件下效用最大化的商品组合呢？就是当消费者把全部收入用于购买各种商品时，他从所购买的每一种商品所得到的边际效用与其价格的比例都相同，这样的商品组合就是最佳的或均衡的商品组合。一些名词解释:总效用(TU):消费者在一定时间内消费一定数量某种商品或商品组合所得到的总的满足。边际效用(MU):消费者在所有其它商品的消费水平保持不变时，增加消费一单位某种商品所带来的满足程度的增加，也就是说指增加一单位某种商品所引起的总效用的增加。•假定:U（X1，X2）=2LnX1+LnX22X1+4X2=36求:X1,X2各为多少时总效用最大第一种解题方法是根据式MU1/MU2=P1/P2求解。•注意：当效用函数比较复杂时，可以采用以下辅助方法：对原效用函数进行某种单调变换，以使求解比较容易。第二种解题方法•令：L=2LnX1+LnX2+λ(36-2X1-4X2)•Lλ´=36-2X1-4X2=0LX1´=2/X1-2λ=0LX2´=1/X2-4λ=0按后二个方程有:4X2=X1,代入Lλ得：36-2X1-X1=0,即：3X1=36,X1=12；以及X2=3