上海市静安区2018年高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word解析版

2018年上海市静安区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共12小题，1-6每小题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算（1﹣）的结果是．2．（4分）计算行列式的值是（其中i为虚数单位）．3．（4分）与双曲线﹣=1有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2）的双曲线方程是．4．（4分）从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案有种（用数值作答）．5．（4分）已知函数f（x）=a•2x+3﹣a（a∈R）的反函数为y=f﹣1（x），则函数y=f﹣1（x）的图象经过的定点的坐标为．6．（4分）在（x﹣a）10的展开式中，x7的系数是15，则实数a=．7．（5分）已知点A（2，3）到直线ax+（a﹣1）y+3=0的距离不小于3，则实数a的取值范围是．8．（5分）类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于O点且单位长度相同）称为斜坐标系，在斜坐标系xOy中，若=x+y（其中、分别为斜坐标系的x轴，y轴正方向上的单位向量，x，y∈R），则点P的坐标为（x，y），若在斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，点M的坐标为（1，2），则点M到原点O的距离为．9．（5分）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为π，则该圆锥的侧面积等于．10．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1）是R上的增函数，则实数a的取值范围为．11．（5分）已知函数f（x）=|sin2x﹣cosxcos（﹣x）﹣|，若将函数y=f（x）的图象向左平移a个单位（0＜a＜π），所得图象关于y轴对称，则实数a的取值集合为．12．（5分）已知函数f（x）=ax2+4x+1，若对此任意x∈R，都有f（f（x））≥0恒成立，则实数a的取值范围为．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知无穷等比数列{an}的各项之和为，首项a1=，则该数列的公比为（）A．B．C．﹣D．或14．（5分）设全集U=R，A={x|y=log3（1﹣x）}，B={x||x﹣1|＜1}，则（∁UA）∩B=（）A．（0，1]B．（0，1）C．（1，2）D．[1，2）15．（5分）两条相交直线l，m都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l和m中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件16．（5分）若曲线|y|=x+2与C：+=1恰有两个不同交点，则实数λ取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．（1，+∞）D．[﹣1，0）∪（1，+∞）三、解答题（本大题共5小题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=4，异面直线BC1与AA1所成角的大小为．（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求直线BC1与平面AA1C1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，设向量=（a，cosB），=（b，cosA），且∥，≠．（1）求证：A+B=；（2）若x•sinAsinB=sinA+sinB，试确定实数x的取值范围．19．（14分）如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t．（1）当三点C，P，Q不共线时，求直角△CPQ的周长．（2）设探照灯照射在正方形ABCD内部区域PAQC的面积为S（平方百米），试求S的最大值．20．（16分）如图，已知满足条件|z﹣3i|=|﹣i|（其中i为虚数单位）的复数z在复平面xOy对应点的轨迹为圆C（圆心为C），设复平面xOy上的复数z=x+yi（x∈R，y∈R）对应的点为（x，y），定直线m的方程为x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线m相交于N点，与圆C相交于P，Q两点，M是弦PQ中点．（1）若直线l经过圆心C，求证：l与m垂直；（2）当|PQ|=2时，求直线l的方程；（3）设t=•，试问t是否为定值？若为定值，请求出t的值，若t不为定值，请说明理由．21．（18分）已知数列{an}的通项公式an=（n，a∈N*）．（1）若a1，a2，a4成等差数列，求a的值；（2）是否存在k（k≥10且k∈N*）与a，使得a1，a3，ak成等比数列？若存在，求出k的取值集合，若不存在，请说明理由；（3）求证：数列{an}中的任意一项an总可以表示成数列{an}中的其它两项之积．2018年上海市静安区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，1-6每小题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算（1﹣）的结果是0．【考点】8J：数列的极限．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用数列的极限的运算法则求解即可．【解答】解：（1﹣）==1=0．故答案为：0．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．2．（4分）计算行列式的值是﹣6i（其中i为虚数单位）．【考点】OM：二阶行列式的定义．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5R：矩阵和变换．【分析】利用行列式的展开法则直接求解．【解答】解：=（1﹣i）（1+i）﹣2（3i+1）=1﹣i2﹣6i﹣2=﹣6i．故答案为：﹣6i．【点评】本题考查行列式的值的求法，考查行列式的展开法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．（4分）与双曲线﹣=1有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2）的双曲线方程是．【考点】KB：双曲线的标准方程；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设所求双曲线的方程为﹣=m（m≠0），代入A的坐标，求得m，进而得到双曲线方程．【解答】解：与双曲线﹣=1有公共的渐近线，设所求双曲线的方程为﹣=m（m≠0），代入点A（﹣3，2），得m=．则所求双曲线的方程为﹣=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基本知识的考查．4．（4分）从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案有60种（用数值作答）．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5O：排列组合．【分析】根据题意，分析可得这是排列问题，有排列数公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，从5名志愿者中选出3名，分别从事三项不同的工作，则有A53=60种不同的选派方案；故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意排列、组合数公式的区别．5．（4分）已知函数f（x）=a•2x+3﹣a（a∈R）的反函数为y=f﹣1（x），则函数y=f﹣1（x）的图象经过的定点的坐标为（3，0）．【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】求出f（x）=a•2x+3﹣a所经过的定点，由互为反函数图象之间的关系得答案．【解答】解：∵f（x）=a•2x+3﹣a=a（2x﹣1）+3过定点（0，3），∴f（x），的反函数y=f﹣1（x）的图象经过定点（3，0）．故答案为：（3，0）．【点评】本题考查了指数型函数的图象和性质，考查了互为反函数图象之间的关系，是基础题．6．（4分）在（x﹣a）10的展开式中，x7的系数是15，则实数a=﹣．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程解．【解答】解：（x﹣a）10的展开式的通项为Tr+1=C10rx10﹣r（﹣a）r令10﹣r=7得r=3∴x7的系数是﹣a3C103∵x7的系数是15∴﹣a3C103=15解得【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．（5分）已知点A（2，3）到直线ax+（a﹣1）y+3=0的距离不小于3，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪．【考点】IT：点到直线的距离公式．菁优网版权所有【专题】4R：转化法；59：不等式的解法及应用；5B：直线与圆．【分析】由题意可得：≥3，解出即可得出．【解答】解：由题意可得：≥3，化为：7a2+18a﹣9≥0，解得a≤﹣3或a．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪．【点评】本题考查了不等式的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于O点且单位长度相同）称为斜坐标系，在斜坐标系xOy中，若=x+y（其中、分别为斜坐标系的x轴，y轴正方向上的单位向量，x，y∈R），则点P的坐标为（x，y），若在斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，点M的坐标为（1，2），则点M到原点O的距离为．【考点】F3：类比推理．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；48：分析法；5A：平面向量及应用．【分析】由题意可得=+2，两边平方，结合向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算可得所求距离．【解答】解：由题意可得=+2，平方可得2=2+42+4•=1+4+4×1×1×=7，可得||=，故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，以及新定义的理解和运用，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为π，则该圆锥的侧面积等于4π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；49：综合法；5Q：立体几何．【分析】根据体积求出圆锥的底面半径和母线长，代入公式得出侧面积．【解答】解：设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面半径为r=，高h=r=．∴圆锥的体积V=πr2•h=π=，∴l=2，r=2，∴圆锥的侧面积为S侧=πrl=4π．故答案为：4π．【点评】本题考查了圆锥的几何特征与表面积、体积计算，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1）是R上的增函数，则实数a的取值范围为[3，5）．【考点】5B：分段函数的应用；KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=（a＞0，a≠1）是R上的增函数，则，解得即可．【解答】解：函数f（x）=（a＞0，a≠1）是R上的增函数，则，解得3≤a＜5，故答案为：[3，5）．【点评】考查分段函数在定义域上单调时需满足的条件，以及一次函数、指数函数的单调性．11．（5分）已知函数f（x）=|sin2x﹣cosxcos（﹣x）﹣|，若将函数y=f（x）的图象向左平移a个单位（0＜a＜π），所得图象关于y轴对称，则实数a的取值集合为{，，，}．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据函数图象平移法则得出平移后的函数解析式，再根据函数图象关于y轴对称求出a的取值集合．【解答】解：函数f（x）=|sin2x﹣cosxcos（﹣x）﹣|=|+cosxsinx﹣|=|sin2x﹣cos2x|=|sin（2x﹣）|，函数y=f（x）的图象向左平移a个单位（0＜a＜π），得y=|sin（2（x+a）﹣）|=|sin（2x+2a﹣）|的图象，且函数的图象关于y轴对称，∴2a﹣=kπ，k∈Z；∴a=+kπ，k∈Z；又0＜a＜π，∴a=或或或；∴实数a的取值集合为{，，，}．故答案为：{，，，}．【点评】本题考查了函数图象