奥数全年级一百七十九专题题库教师版332行程综合问题教师版

1.运用各种方法解决行程内综合问题。2.发现一些综合问题中，行程与其它模块的联系，并解决奥数综合问题。行程问题是奥数中的一个难点，内容多而杂。而在行程问题中，还有一些尤其复杂的综合问题。它们大致可以分为两类：一、行程内综合，把行程问题中的一些零散的知识点综合在一道题目中，这就是一道行程内综合题目。例如把环形跑道和猎狗追兔结合在一起，把流水行船和发车间隔结合起来等等。二、学科内综合，这种问题就不只是行程问题了，把行程问题和其它知识模块里的思想方法结合在一起，这种综合性题目的难度也很大，比如行程与策略综合等等。本讲内容主要就是针对这种综合性题目。虽然题目难度偏大，但是这种题目在杯赛和小升初试题中是很受“偏爱”的。所以很重要。模块一、行程内综合【例1】邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?【考点】变速问题与走停问题【难度】2星【题型】解答【解析】法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。①邮递员到达对面山里需时间：12÷4+8÷5=4.6(小时);②邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12÷5+1+4.6=2+2.4+1+4.6=l0(小时)③邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的。法二：从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用时间为：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10(小时)，邮递员是下午7+10-12=5(时)回到邮局的。【答案】5时【例2】小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟．已知小红下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3小时50分，那么下山用了多少时间？【考点】变速问题与走停问题【难度】2星【题型】解答【解析】上山用了3小时50分，即60350230(分)，由2303010530（），得到上山休息了5次，走了230105180(分)．因为下山的速度是上山的1.5倍，所以下山走了1801.5120(分)．由120304知，下山途中休息了3次，所以下山共用12053135(分)2小时15分．【答案】2小时15分【例3】已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同．而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着行程综合问题知识精讲教学目标周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？【考点】环形跑道与猎狗追兔【难度】5星【题型】解答【解析】方法一：由题意，猫与狗的速度之比为9:25，猫与兔的速度之比为25:49．设单位时间内猫跑1米，则狗跑259米，兔跑4925米．狗追上猫一圈需25675300194单位时间，兔追上猫一圈需496253001252单位时间．猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是6754的整数倍，又是6252的整数倍．6754与6252的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数，即675,62567562516875,8437.5424,22．上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇．此时，猫跑了8437.5米，狗跑了258437.523437.59米，兔跑了498437.516537.525米．方法二：根据题意，猫跑35步的路程与狗跑21步的路程、兔跑25步的路程相等；而猫跑15步的时间与狗跑25步、兔跑21步的时间相同．所以猫、狗、兔的速度比为152521::352125，它们的最大公约数为15,25,211525211,,35212535,21,253557，即设猫的速度为151225353557，那么狗的速度为251625213557，则兔的速度为211441253557．于是狗每跑3300(625225)4单位时追上猫；兔每跑25300(441225)18单位时追上猫．而3,2532575,4184,182，所以猫、狗、兔跑了752单位时，三者相遇．猫跑了752258437.52米，狗跑了7562523437.52米，兔跑了7544116537.52米．【答案】16537.5米【例4】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米／秒，乙比原来速度减少2米／秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。【考点】环形跑道与变速问题【难度】3星【题型】解答【解析】因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用24秒，则相遇前两人和跑一圈也用24秒。以甲为研究对象，甲以原速V跑了24秒的路程与以（V+2）跑了24秒的路程之和等于400米，24V+24（V+2）=400易得V=173米/秒【答案】173米/秒【例5】环形跑道周长是500米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑120米，乙每分跑100米，两人都是每跑200米停下休息1分。甲第一次追上乙需多少分？【考点】环形跑道与变速问题【难度】3星【题型】解答【解析】55分。解：甲比乙多跑500米，应比乙多休息2次，即2分。在甲多休息的2分内，乙又跑了200米，所以在与甲跑步的相同时间里，甲比乙多跑500＋200＝700（米），甲跑步的时间为700÷（120－100）＝35（分）。共跑了120×35＝4200（米），中间休息了4200÷200－1＝20（次），即20分。所以甲第一次追上乙需35＋20＝55（分）。【答案】55分【例6】甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%，而乙的速度立即减少20%，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是米．BCA【考点】环形跑道与变速问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图，设跑道周长为1，出发时甲速为2，则乙速为5．假设甲、乙从A点同时出发，按逆时针方向跑．由于出发时两者的速度比为2:5，乙追上甲要比甲多跑1圈，所以此时甲跑了21(52)23，乙跑了53；此时双方速度发生变化，甲的速度变为2(125%)2.5，乙的速度变为5(120%)4，此时两者的速度比为2.5:45:8；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑1圈，则此次甲跑了51(85)53，这个53就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程．从环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是52133个周长，又可能是51233个周长．那么，这条环形跑道的周长可能为21001503米或11003003米．【答案】300米【例7】如图所示，甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分）道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4米。两人一直跑下去，问：他们第99次迎面相遇的地方距A点还有米。A【考点】环形跑道与变速问题【难度】2星【题型】解答【解析】本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到A点，即两人在A点迎面相遇，然后再从A点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期．在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相遇，再回到出发点是第四次相遇……可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是A点．本题要求的是第99次迎面相遇的地点与A点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与A点的距离．对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到跑完正常道路时，乙才跑了20084100米，此时两人相距100米，且之间全是泥泞道路，此时两人速度相同，所以再各跑50米可以相遇．所以第一次相遇时乙跑了10050150米，这就是第一次相遇点与A点的距离，也是第99次迎面相遇的地点与A点的距离．【答案】150米【例8】甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的2/3.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了1/3；乙跑第二圈时速度提高了1/5．已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米?【考点】环形跑道与变速问题【难度】3星【题型】解答【解析】设甲跑第一圈的速度为3，那么乙跑第一圈的速度为2，甲跑第二圈的速度为4，乙跑第二圈的速度为125.如下图：第一次相遇地点逆时针方向距出发点35的跑道长度．有甲回到出发点时，乙才跑了23的跑道长度.在乙接下来跑了13跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了122433圈．所以还剩下13的跑道长度，甲以4的速度，乙以125的速度相对而跑，所以乙跑了11212435518圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点18圈．即第一次相遇点与第二次相遇点相差31195840圈，所以，这条椭圆形跑道的长度为1919040040米．【答案】400米【例9】如图3-5,正方形ABCD是一条环形公路．已知汽车在AB上时速是90千米，在BC上的时速是120千米，在CD上的时速是60千米,在DA上的时速是80千米．从CD上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB中点相遇．如果从PC的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB上一点N相遇．问A至N的距离除以N至B的距离所得到的商是多少?【考点】环形跑道与变速问题【难度】2星【题型】解答【解析】如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD的边长为单位“1”.有甲从P到达AB中点O所需时间为608090PDDAAO10.5608090PD.乙从P到达AB中点O所需时间为6012090PCBCBO10.56012090PD.有甲、乙同时从P点出发,则在AB的中点O相遇,所以有：16080PD=160120PC且有PD=DC-PC=1-PC,代入有116080PC160120PC,解得PC=58.所以PM=MC=516,DP=38.现在甲、乙同时从PC的中点出发,相遇在N点,设AN的距离为x.有甲从M到达N点所需时间为608090MDDAAN351816608090x；乙从M到达N点所需时间为6012090MCCBBN511166012090x.有351816608090x511166012090x，解得132x.即AN=132.所以AN÷BN1313232131【答案】131【例10】一条环形道路，周长为2千米．甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周．现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时20千米．请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点．那么环行2周最少要用多少分钟?【考点】环形跑道与变速问题【难度】4星【题型】解答【解析】如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间120；乙