奥数全年级一百七十九专题题库教师版554余数性质二教师版

1.学习余数的三大定理及综合运用2.理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么na与nb除以m的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式12341898189226789671789028899231234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。知识点拨教学目标5-5-4.余数性质（二）而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。模块一、余数性质的综合运用【【例例11】】20032与22003的和除以7的余数是________．【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】南京市，少年数学智力冬令营【解析】找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415．【答案】5【【巩巩固固】】2008222008除以7的余数是多少？【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】328除以7的余数为1，200836691，所以200836691366922(2)2＋，其除以7的余数为：669122；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008除以7的余数为：213．【答案】3【【巩巩固固】】30313130被13除所得的余数是多少？【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，时5n被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，1以4为周期循环出现，所以305被13除的余数与25被13除的余数相同，余12，则3031除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，时，4n被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6为周期循环出现，所以314被13除所得的余数等于14被13除所得的余数，即4，故3130除以13的余数为4；所以30313130被13除所得的余数是124133．【答案】3【【例例22】】M、N为非零自然数，且20072008MN被7整除。MN的最小值为。【考点】余数性质的综合运用【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第7题，10分例题精讲【解析】2007除以7的余数是5，2008除以7的余数是6，所以56MN能被7整除，经试算，MN最小值为325【答案】5【【例例33】】1234200512342005除以10所得的余数为多少？【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】解答【解析】求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算123420123420的个位数字，为1476563690163656749094的个位数字，为4，由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4100400的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1476523的个位数3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．【答案】3【【例例44】】已知n是正整数，规定!12nn，令1!12!23!32007!2007m，则整数m除以2008的余数为多少？【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【关键词】清华附中【解析】1!12!23!32007!2007m1!212!313!412007!20081（）（）（）（）2!1!3!2!4!3!2008!2007!2008!12008能够整除2008!，所以2008!1的余数是2007．【答案】2007【【例例55】】设n为正整数，2004nk，k被7除余数为2，k被11除余数为3，求n的最小值．【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以2n被7除余数为2，被11除余数为3．由于122被7除余2，而328被7除余1，所以n除以3的余数为1；由于82256被11除余3，1021024被11除余1，所以n除以10的余数为8．可见2n是3和10的公倍数，最小为3,1030，所以n的最小值为28．【答案】28【【例例66】】试求不大于100，且使374nn能被11整除的所有自然数n的和．【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】通过逐次计算，可以求出3n被11除的余数，依次为：13为3，23为9，33为5，43为4，53为1，…，因而3n被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，……；类似地，可以求出7n被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，……；于是374nn被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，……；这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，即3,4,6,13,14,16,......,93,94,96n时374nn能被11整除，所以，所有满足条件的自然数n的和为：346131416...9394961343...2831480．【答案】1480【【例例77】】对任意的自然数n，证明2903803464261nnnnA能被1897整除．【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】18977271，7与271互质，因为29035(mod7)，8035(mod7)，4642(mod7)，2612(mod7)，所以，290380346426155220(mod7)nnnnnnnnA，故A能被7整除．又因为2903193(mod271)，803261(mod271)，464193(mod271)，所以29038034642611932611932610(mod271)nnnnnnnnA，故A能被271整除．因为7与271互质，所以A能被1897整除．【【例例88】】若a为自然数，证明2005194910()aa．【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】1025，由于2005a与1949a的奇偶性相同，所以200519492()aa．20051949194956(1)aaaa，如果a能被5整除，那么1949565(1)aa；如果a不能被5整除，那么a被5除的余数为1、2、3或者4，4a被5除的余数为41、42、43、44被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1，所以不管a为多少，4a被5除的余数为1，而56414()aa，即14个4a相乘，所以56a除以5均余1，则561a能被5整除，有1949565(1)aa．所以200519495()aa．由于2与5互质，所以2005194910()aa．【【例例99】】有一位奥运会志愿者，向看台上的一百名观众按顺序发放编号1，2，3，……100，同时还向每位观众赠送一个单色喇叭．他希望如果两位观众的编号之差是质数，那么他们拿到的喇叭就是不同颜色的．为了实现他自己的愿望，他最少要准备种颜色的喇叭．【考点】余数性质的综合运用【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第11题【【解解析析】】编号1、3、6、8这四个编号两两之间的差都是质数，所以这四个编号的观众应该使用不同颜色的喇叭．所以他最少应该准备4种不同颜色的喇叭，然后按编号被4除后的余数分派不同颜色喇叭．【答案】4种模块二、弃九法【【例例1100】】将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：1234567891011121320072008，试求这个多位数除以9的余数．【考点】弃九法【难度】3星【题型】解答【解析】以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于19992000被9除的余数，但是由于1999与1999被9除的余数相同，2000与2000被9除的余数相同，所以19992000就与19992000被9除的余数相同．由此可得，从1开始的自然数1234567891011121320072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同．根据等差数列求和公式，这个和为