2020年高考数学考纲解读与热点难点突破专题22选择题填空题的解法

选择题、填空题的解法【2020年高考考纲解读】高考选择题、填空题绝大部分属于低中档题目，一般按由易到难的顺序排列，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力.(1)解题策略:选择题、填空题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解题的基本策略是充分利用题干所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后一般，先间接后直接，另外对选择题可以先排除后求解.(2)解决方法:选择题、填空题属“小”题，解题的原则是“小”题巧解，“小”题不能大做.主要分直接法和间接法两大类.具体的方法有:直接法，等价转化法，特值、特例法，数形结合法，构造法，对选择题还有排除法(筛选法)等.【高考题型示例】方法一、直接法直接法就是利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论.这种策略多用于一些定性的问题，是解题最常用的方法.例1、(1)已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则的最大值为()A.6B.7C.8D.9(2)已知M(x0，y0)是双曲线C:-y2=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是.答案:(1)B(2)解析:(1)∵点A，B，C在圆x2+y2=1上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径.又点P的坐标为(2，0)，=2=(-4，0).设B(x，y)，则x2+y2=1，且x∈[-1，1]，可得=(x-2，y)，则=(x-6，y).故||=因此，当x=-1时，||有最大值=7，故选B.【变式探究】(1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是()A.B.C.D.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(2019)的值为()A.-1B.0C.1D.2答案:(1)C(2)B解析:(1)如图所示，顶点D在正三角形ABC上的射影G为三角形ABC的外心，故正三棱锥的高过其外接球的球心，侧棱DB与三棱锥的高构成的截面过球心，设截面与棱AC的交点为F，∵BG⊥AC，∴F为AC中点.∵三棱锥的棱长均为2，∴BF=DF=2=取BD的中点E，连接EF，则EF是等腰三角形BDF底边上的高.∵EF=，∴△BDF的面积为S=BD·EF=2(2)f(0)=0.当x0时，∵f(x)=f(x-1)-f(x-2)，∴f(x+1)=f(x)-f(x-1)=-f(x-2)，∴f(x+3)=-f(x)，∴f(x+6)=f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(2019)=f(336×6+3)=f(3)=f(2)-f(1)=[f(1)-f(0)]-f(1)=-f(0)=0.方法二等价转化法等价转化法就是用直接法求解时，问题中的某一个量很难求，把所求问题等价转化成另一个问题后，这一问题的各个量都容易求，从而使问题得到解决.通过转化，把不熟悉、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题.例2、(1)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点M是BB1的中点，则三棱锥C1-AMC的体积为()A.B.C.2D.2(2)设点P是椭圆+y2=1上异于长轴端点的一个动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是.答案:(1)A(2)C解析:(1)(方法一)取BC中点D，连接AD.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，因为△ABC为正三角形，所以AD⊥BC.又平面BCC1B1⊥平面ABC，交线为BC，即AD⊥平面BCC1B1，所以点A到平面MCC1的距离就是AD.在正三角形ABC中，AB=2，所以AD=.又AA1=3，点M是BB1的中点，所以2×3=3.所以3(方法二)因为，所以问题转化为求2×3=3.又BB1∥平面ACC1A1，点M到平面ACC1A1的距离等于点B到平面ACC1A1的距离，易知正三角形ABC底边AC上的高为，因此，3(2)x2+ax+1≥0ax≥-(x2+1)⇔a≥-因为函数f(x)=x+在(0，1)上是减函数，所以当x时，f(x)≥f+2=，所以=-，即a≥-，即a的最小值是-【变式探究】已知a=，b=log23，c=log34，则a，b，c的大小关系是()A.abcB.bcaC.cabD.cba【解析】a=log22=log2log23=b.32=1，∴cb.又a=log33=log3log3=log34=c，∴cab.【答案】C方法三特值、特例法特值、特例法是解选择题、填空题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素，某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略.当题目已知条件中含有某些不确定的量时，可将题目中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值(或特殊函数，特殊角，特殊数列，特殊图形，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.例3、(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A.130B.170C.210D.260(2)如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P=BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为()A.3∶1B.2∶1C.4∶1D.∶1【变式探究】已知命题p:∃x0∈R，x0-2lgx0，命题q:∀x∈R，ex1，则()A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∧(�q)是真命题D.命题p∨(�q)是假命题答案C解析取x0=10，得x0-2lgx0，则命题p是真命题;取x=-1，得ex1，命题q是假命题，�q是真命题，故选C.方法四、排除法(筛选法)从已知条件出发，通过观察分析或推理运算各选项提供的信息，将错误的选项逐一排除，而获得正确的结论.排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法.例4、过点(，0)引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.B.-C.±D.-答案：B解析：由y=，得x2+y2=1(y≥0)，其所表示的图形是以原点O为圆心，1为半径的上半圆(如图).由题意及图形，知直线l的斜率必为负值，故排除A，C选项.当其斜率为-时，直线l的方程为x+y-=0，点O到其距离为1，不符合题，故排除D选项.选B.【变式探究】函数y=xcosx+sinx的图象大致为()解析由函数y=xcosx+sinx为奇函数，排除B;当x=π时，y=-π，排除A;当x=时，y=1，排除C.故答案为D.答案D方法五、图解法(数形结合法)在处理数学问题时，将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性解决问题，这种方法称为数形结合法.例5、函数f(x)=+2cosπx(-2≤x≤4)的所有零点之和等于()A.2B.4C.6D.8答案：C由图象可知，函数g(x)=的图象关于x=1对称，又x=1也是函数h(x)=-2cosπx(-2≤x≤4)图象的对称轴，所以函数g(x)=(-2≤x≤4)和h(x)=-2cosπx(-2≤x≤4)图象的交点也关于x=1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.【变式探究】已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，，则||2的最大值是()A.B.C.D.解析设△ABC的外心为D，则||=||=||=2.以D为原点，直线DA为x轴，过点D的DA的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(2，0)，B(-1，-)，C(-1，).设P(x，y)，由已知||=1，得(x-2)2+y2=1，∵，∴M.∴.∴||2=，它表示圆(x-2)2+y2=1上点(x，y)与点(-1，-3)距离平方的，∴(||2)max=+1)2=，故选B.答案：B方法六、直接法直接法就是从题干给出的条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，直接得出结论.例/6、(2018全国Ⅱ，文16)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为.【变式探究】设向量a=(1，0)，b=(-1，m).若a⊥(ma-b)，则m=.答案-1解析由题意，得ma-b=(m，0)-(-1，m)=(m+1，-m).∵a⊥(ma-b)，∴a·(ma-b)=0，即m+1=0，∴m=-1.方法七、特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值进行处理，从而得出待求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.例7、(1)如图，在△ABC中，点M是BC的中点，过点M的直线与直线AB，AC分别交于不同的两点P，Q，若=λ=μ，则=.(2)若函数f(x)=是奇函数，则m=.答案:(1)2(2)2解析:(1)由题意可知，的值与点P，Q的位置无关，而当直线BC与直线PQ重合时，有λ=μ=1，所以=2.(2)显然f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，∴令x=1，x=-1，则f(-1)+f(1)==0，m=2.店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种.则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有种;(2)这三天售出的商品最少有种.答案(1)16(2)29解析(1)由于前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16(种).(2)同理可知第三天售出但第二天未售出的商品有18-4=14(种).当前两天都售出的3种商品与后两天都售出的4种商品有3种是一样的，剩下的1种商品在第一天未售出;且第三天售出但第二天未售出的14种商品都在第一天售出的商品中，此时商品总数最少，为29种.如图，分别用A，B，C表示第一、二、三天售出的商品种数.方法九、构造法填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.例9、如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于.答案：π解析：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|==2R，所以R=，故球O的体积V=π.【变式探究】已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为.