中考必会几何模型半角模型

半角模型已知如图：①∠2=12∠AOB；②OA=OB.OABEF123连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′4321F'FEBAO模型分析∵△OBF≌△OAF′，∴∠3=∠4，OF=OF′.∴∠2=12∠AOB，∴∠1+∠3=∠2∴∠1+∠4=∠2又∵OE是公共边，∴△OEF≌△OEF′.（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.模型实例例1已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N．（1）求证：BM+DN=MN．（2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．证明：（1）延长ND到E，使DE=BM，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB．在△ADE和△ABM中，BMDEBADEABAD∴△ADE≌△ABM．∴AE=AM，∠DAE=∠BAM∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°．∴∠MAN=∠EAN=45°．在△AMN和△AEN中，ANANEANMANEAMA∴△AMN≌△AEN．∴MN=EN．∴BM+DN=DE+DN=EN=MN．（2）由（1）知，△AMN≌△AEN．∴S△AMN=S△AEN．即ENAD21MNAH21．又∵MN=EN，∴AH=AD．即AH=AB．例2在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_______________；（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．图①图②解答（1）BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN．（2）猜想：BM+NC=MN．证明：如图③，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．∵BD=CD，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°．又∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∴∠MBD=∠NCD=90°．在△MBD与△ECD中，∵DB=DC，∠DBM=∠DCE=90°，BM=CE，∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．在△MDN和△EDN中，∵MD=ED，∠MDN=∠EDN=60°，DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS）．∴MN=NE=NC+CE=NC+BM．图③例3如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且∠EAF=21∠BAD．求证：EF=BE-FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．在△ABG和△ADF中，DFBGADFBADAB∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠GAF=∠BAD．∴∠EAF=21∠BAD=21∠GAF．∴∠GAE=∠EAF．在△AEG和△AEF中，AEAEFAEGAEAFAG∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG=EF．∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．跟踪练习：1．已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN=45°．求证：MN=DN-BM．【答案】证明：如图，在DN上截取DE=MB，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°．在△ABM和△ADE中，DEBMABMDABAD∴△ABM≌△ADE．∴AM=AE，∠MAB=∠EAD．∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，∴∠DAE+∠BAN=45°．∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN．在△AMN和△AEN中，ANANEANMANAEAM∴△ABM≌△ADE．∴MN=EN．∵DN-DE=EN．∴DN-BM=MN．2．已知，如图①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图②，其他条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图①图②【答案】解答：（1）猜想：DE2=BD2+EC2．证明：将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，如图①∴△ACE≌△ABE′．∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB．在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°．∴E′B2+BD2=E′D2．又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°．∴△AE′D≌△AED．∴DE=DE′．∴DE2=BD2+EC2．图①（2）结论：关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：作∠FAD=∠BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，如图②∴△AFD≌△ABD．∴FD=DB，∠AFD=∠ABD．又∵AB=AC，∴AF=AC．∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB）=90°-（45°-∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠CAE．又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE．∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°．∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°．∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2．即DE2=BD2+EC2．图②3．已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且∠MON=60°．（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．图①图②图③【答案】结论：（1）AM=CN+MN；如图①图①（2）成立；证明：如图②，在AC上截取AE=CN，连接OE、OA、OC．∵O是边AC、BC垂直平分线的交点，且△ABC为等边三角形，∴OA=OC，∠OAE=∠OCN=30°，∠AOC=120°．又∵AE=CN，∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，∠AOE=∠CON．∴∠EON=∠AOC=120°．∵∠MON=60°，∴∠MOE=∠MON=60°．∴△MOE≌△MON．∴ME=MN．∴AM=AE+ME=CN+MN．图②（3）如图③，AM=MN-CN．图③4．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E、F分别是线段BC、CD上的点，且BE+FD=EF．求证：∠EAF=21∠BAD．【答案】证明：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF．∵∠ABC+∠D=180°，∴∠ABC+∠ABG=180°．∴点G、B、C共线．∵BE+FD=EF，∴BE+BG=GE=EF．在△AEG和△AEF中，EFEGAEAEAFAG∴△AEG≌△AEF．∴∠EAG=∠EAF．∴∠EAB+∠BAG=∠EAF．又∵∠BAG=∠DAF，∴∠EAB+∠DAF=∠EAF．∴∠EAF=21∠BAD．5．如图①，已知四边形ABCD，∠EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与CB的延长线交于点E，连接EF．（1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF＝45°时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）（2）如图②，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF＝12∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明．（3）在（2）中，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周长（直接写出结论）解答：（1）EF=DF-BE（2）EF=DF-BE证明：如图，在DF上截取DM=BE，连接AM，∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°∵D=ABE∵AD=AB在△ADM和△ABE中，DMBEDABEADAB∴△ADM≌△ABE∴AM=AE，∠DAM=∠BAE∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=12∠BAD，∴∠DAM+∠BAF=12∠BAD∴∠MAF=12∠BAD∴∠EAF=∠MAF在△EAF和△MAF中AEAMEAFMAFAFAF∴△EAF≌△MAF∴EF=MF∵MF=DF-DM=DF-BE，∴EF=DF-BE（3）∵EF=DF-BE∴△CEF的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF=BC+CD+2CF=15