中考必会几何模型将军饮马模型

将军饮马模型“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现．模型1：直线与两定点模型作法结论lBA当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小．lPAB连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为ABlAB当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小．lPB'AB作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB'lAB当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PAPB最大．lPAB连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．PAPB的最大值为ABlAB当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得PAPB最大．lB'ABP作点B关于直线I的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．PAPB的最大值为AB'lAB当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PAPB最小．lPAB连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点．PAPB的最小值为0模型实例例1：如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD＋PE最小值是．EBCADP解答：如图所示，∵点B与点D关于AC对称，∴当点P为BE与AC的交点时，PD＋PE最小，且线段BE的长．∵正方形ABCD的面积为12，∴其边长为23∵△ABE为等边三角形，∴BE＝AB＝23．∴PD＋PE的最小值为23．例2：如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则PAPB的最大值是多少？DACBPPA'ABC解答：如图所示，作点A关于CD的对称点A′，连接A′C，连接A′B并延长交CD于点P，则点P就是PAPB的值最大时的点，PAPB＝A′B．∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC等于4，∴∠ACB＝90°．∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°．∵点A、A′关于CD对称，∴AA′⊥CD，AC＝CA′，∵∠ACD＝∠DCA′＝75°，∴∠BCA′＝60°．∵CA′＝AC＝BC＝4，∴△A′BC是等边三角形，∴A′B＝BC＝4．∴PAPB的最大值为4．练习1．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是．DACBE解：解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C，使OC=OC，连接DC，交AB于E，连接CB，此时DE+CE=DE+EC=DC的值最小．连接BC，由对称性可知∠CBE=∠CBE=45°，∴∠CBC=90°，∴BC⊥BC，∠BCC=∠BCC=45°，∴BC=BC=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，根据勾股定理可得：DC=5，故EC+ED的最小值是5．2．如图，点C的坐标为（3，y），当△ABC的周长最短时，求y的值．xyB(2,0)A(0,3)O解：解：（1）作A关于x=3的对称点A′，连接A′B交直线x=3与点C．∵点A与点A′关于x=3对称，∴AC=A′C．∴AC+BC=A′C+BC．当点B、C、A′在同一条直线上时，A′C+BC有最小值，即△ABC的周长有最小值．∵点A与点A′关于x=3对称，∴点A′的坐标为（6，3）．设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝34，b＝−32．∴y=34x-32．将x=3代入函数的解析式，∴y的值为343．如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|的最小值与最大值．MBCADN解：解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3模型作法结论AOBP点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小．DCP''P'PBOA分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．△PCD周长的最小值为P′P″PBOA点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小．DCP'PBOA作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OBPD＋CD的最小值为P′C于D，点C、点D即为所求．PBOAQ点P、Q在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得四边形PQDC周长最小．分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，分别交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．PC＋CD＋DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC周长的最小值为PQ＋P′Q′模型实例如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且10OP=.在OA上有一点Q，OB上一点R．若立△PQR周长最小，则最小周长是多少？解答如图，作点P分别关于OA、OB的对称点E、F，连接EF，分别交OA、OB于点Q、R，连接OE、OF、PE、PF.EQOP，FRRP=．△PQR的周长的最小值为EF的长.由对称性可得∠EOQ=∠POQ，∠FOR=∠POR，∠EOF=2∠AOB=60°．△EOF是正三角形．10EFOEOP．即△PQR周长最小值为10.模型2/角与定点1．已知，40MON°?，P为MONÐ内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，OBAP当△PAB的周长取最小值时：(1)找到A、B点，保留作图痕迹；(2)求此时APBÐ等于多少度.如果∠MON=θ，∠APB又等于多少度？ONMP1.解答（1）做点P分别关于OMON、的对称点EF、，连接EF分别交OMON、于点AB、．点AB、即为所求，此时△PAB的周长最小．（２）∵点E与点P关于直线OM对称，点F与点P关于ON对称，∴∠E＝∠APE，∠F=∠BPF，∠CPD=180°-∠MON=140°．∴在△EFP中，∠E+∠F=180°-140°=40°，∴∠CPA+∠BPD=40°．∴∠APB=100°．如果∠MON=θ，∴∠CPD=180°-θ，∠E+∠F=θ．又∵∠PAB=2∠E，∠PBA=2∠F∴∠PAB+∠PBA=2（∠E+∠F）=2θ∴∠APB=180°-2θ．PDMONEFCAB2．如图，四边形中ABCD，110BAD°?,90BD°??，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时+AMNANM的度数．ADCBMN2．解答如图，作点A关于BC的对称点A，关于CD的对称点A，连接AA与BC、CD的交点即为所求的点M、N．此时△AMN周长最小．∵∠BAD=110°，∴∠A+∠A=180°-110°=70°．由轴对称的性质得：∠A=∠AAM，∠A=∠AAN，∴∠AMN+∠ANM=2(∠A+∠A)=2×70°=140°．3．如图，在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使ADCDBC++最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标．yx坐标初始坐标网格显示刻度控刻度线等单位长修改刻度坐标控制OB(3,1)A(1,3)3．解答作点A关于y轴的对称点A，点B关于x轴的对称点B，连接AB分别交x轴、y轴于点C、D，此时ADCDBC最小．由对称性可知A（-1,3），B（3，-1）．易求得直线AB的解析式为2yx，即直线CD的解析式2yx．当0y时，2x，∴点C坐标为（2,0）．当0x时，2y，∴点D坐标为（0,2）．xy(1，3)(3，1)OB'BA'ADC4．如图，20MON°?，A、B占分别为射线OM、ON上两定点，且2OA=，4OB=，点P、Q分别为射线OM、ON上两动点，当P、Q运动时，线段AQPQPB++的最小值是多少？ONMAB4．解答作A点关于ON的对称点A，点B关于OM的对称点B，连接AB，分别交OMON、于点PQ、，连接OA、OB．则AQPQPBAQPQPBAB，此时AQPQPB最小．由对称可知，PBPB，AQAQ，2OAOA，4OBOB，20MOBNOAMON．60AOB．作AD⊥OB于点D，在Rt△ODA中，∴1OD，3AD∴413BD，23AB∴AQPQPB的最小值是23．模型3两定点一定长模型作法结论如图，在直线l上找M、N两点(M在左)，使得AM＋MN＋NB最小，且MN＝d.将A向右平移d个单位到A′，作A′关于l的对称点A，连接AB与直线l交于点N，将点N向左平移d个单位即为M，点M，N即为所求.AM＋MN＋NB的最小值为AB＋d如图，l1∥l2，l1、l2间距离为d，在l1、l2分别找M、N两点，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最小．将A向下平移d个单位到A，连接A′B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1，连接AM.点M、N即为所求．AM＋MN＋NB的最小值为A'B＋d.例题：在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2.当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标．解答：如图，将点D向右平移2个单位得到D'(2，2)，作D'关于x轴的对称点D(2，－2)，连接BD交x轴于点F，将点F向左平移2个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，且四边形BDEF周长最小.理由：∵四边形BDEF的周长为BD＋DE＋EF＋BF，BD与EF是定值.∴BF＋DE最小时，四边形BDEF周长最小，∵BF＋ED＝BF＋FD'＝BF＋FD＝BDBAldBAlMNA′AABl2l1ABl2l1A′NM设直线BD的解析式为y＝kx＋b，把B(6，4)，D(2，－2)代入，得6k＋b＝4，2k＋b＝－2，解得k＝32，b＝－5，∴直线BD的解析式为y＝32x－5．令y＝0，得x＝103，∴点F坐标为(103，0)．∴点E坐标为(43，0)．练习1．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A(3，0)，B(0，4)，D为边OB的中点．(1)若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．解答：(1)如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE，由模型可知△CDE的周长最小．∵在矩形OACB中，OA＝3，OB＝4，D为OB的中点，∴D(0，2)，C(3，4)，D'(0，－2).设直线CD'为y＝kx＋b，把C(3，4)，D'(0，－2)代入，得3k＋b＝4，b＝－2，解得k＝2，b＝－2，∴直线CD'为y＝2x－2.令y＝0，得x＝1，∴点E的坐标为(1，0).∴OE＝1，AE＝2.利用勾股定理得CD＝13，DE＝5，CE＝25，∴△CDE周长的最小值为13＋35．(2)如图，将点D向右平移1个单位得到D'(1，2)，作D'关于x轴的对称点D″(1，－2)，连接CD″交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，且四边形CDEF周长最小．理由：∵四边形CDEF的周长为CD＋DE＋EF＋CF，CD与EF是定值，∴DE＋CF最小时，四边形BDEF周长最小，∴DE＋CF＝D'F＋CF＝FD″＋CF＝CD″，设直线CD″的解析式为y＝kx＋b，把C(3，4)，D(1，－2)代入，得3k＋b＝4，k＋b＝－2，解得k＝3，b＝－5．∴直线CD″的解析式为y＝3x－5，令y＝0，得x＝53，∴点F坐标为(53，0)，∴点E坐标为(