初三自主招生教学案21一元二次方程

第1页一元二次方程知识梳理：一、根与系数之间的关系设1x和2x是一元次方程20(0)axbxca的两个根，则1212,bcxxxxaa（其中abc、、均为实数）利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)axbxca而知其根的正负性质：一元二次方程20(0)axbxca在240bac的条件下：(1)0ca时，方程的两根必然一正一负；(2)0ba时，方程的正根不小于负根的绝对值；(3)0ba时，方程的正根小于负根的绝对值；(4)0ca时，方程的两根同正或同负.例题精讲：例1、如是,ab关于x的方程的()()1xcxd两个根，求()()acbc的值。解析：由已知2()10xcdxcd，有()1abcdabcd，则()()acbc22()1()1ababxccdcdcc例2、方程22320xx的实数根为、，求的值。解析：原方程22320xx(21)(2)0xx，由于210x＞只有=2x，x=2，所以-4==-1+4第2页例3、如果正整数,ab是关于x的方程229x1056520552013axbb的两个根，求,ab的值。解析：由已知，有2913aab，·1056520552abbb从而有213(13b+90aa），由于,ab是正整数，故213134(139)132055222bba205+52b213a又由·1056520552abbb得10(+b-9aba），a-10b-=（）（10）91而911917131(91)7(13)1011091ab或1091101ab或1071013ab或1013107ab，即11101ab或10111ab或1723ab或2317ab，经检验2317ab满足方程，此时原方程为2403910xx例4、已知实数,ab满足条件：423240aa，4230bb，求代数式444ab的值。解析：将方程423240aa变形得，22222()30aa，所以22a和2b是方程830xx的两个不同的实数根，则22222123baba，所以224422224(1)2(3)7abba二、一元二次方程整数根问题1、当含有某个参数k的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直第3页接求方程的解，通常它们是关于k的分式形式的解。然后利用其根是整数的要求来解不定方程。2、一元二次方程02cbxax在042acb时有实数根abx2，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须acb42为完全平方数，并且b为a2的整数倍。故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类：（1）先求参数范围。可由不等式0求出参数的范围，再求解。（2）再设参数法，即设2k（k是整数）。当2k为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当2k为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解。此外，对有理系数的二次方程有有理根的问题，上述解法也是适用的。3、韦达定理即根与系数的关系是一元二次方程的重要性质，我们也常用它来处理含参数的一元二次方程的整数解得问题，常用的方法有：（1）从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程。（2）利用“当两根为整数时，其和、积必为整数”来解。4、在含有参数的一元二次方程中，参数和未知数都是用字母表示的，通常是将未知数看作是主元，必要时也可以反过来将参数看成是主元，即将方程看成是以参数为未知数的方程，这种方法就是变更主元法。（1）当方程中参数的次数为一次时，可将参数直接用未知数表示出来，再利用已知参数的范围或性质来求解。（2）当方程中参数的次数为二次时，可考虑参数为主元构造一个二次方程，再运用前述的方法（如再利用判别式，韦达定理）来处理。例题精讲：例1：m是什么整数时，方程072)13(6)1(22xmxm有两个不相等的正整数根。解法1：首先，.1,012mm0)3(362m，所以3m。用因式分解或者求根公式得112,1621mxmx。由于21,xx是正整数，所以12,6,4,3,2,116,3,2,11mm，解得2m。这时4,621xx解法2：首先，.1,012mm设两个不相等的正整数根为21,xx，则由根与系数的关系知172,1)13(6221221mxxmmxx，所以72,36,24,18,12,9,8,6,4,3,2,112m，即73,37,25,19,13,10,9,7,5,4,3,22m，只有25,9,42m才有可能，即5,3,2m。经检验，只有2m时方第4页程才有两个不同的整数根。说明：一般来数，可以先把方程的根求出来（如果比较容易求的话），然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样的。有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法。例2.求当m为何整数时，关于x的一元二次方程05444096222mmmxxxmx与的根都是整数。解：依题意有0)544(4)4(036)6(0222mmmmm，解得145m，且0m又m为整数，故1m。当1m时，两方程的根都是整数，符合要求。当1m时，方程0962xmx的根均不是整数，不符合要求。所以仅当1m时，方程的两根都是整数。说明：从此题的两个方程无法得到用有理式形式表示的二根，但方程有整数跟的前提是有实根，我们可以先求出两个方程有实根的条件，从而求出参数m的取值范围，再由m是整数的条件，确定其值。不过最后还得代入验证此时的方程是否根都是整数。例3、设m是不为零的整数，关于x的二次方程01)1(2xmmx有有理根，求m的值。解：一有个整系数的一元二次方程有有理根，他的判别式一定是完全平方数。令224)1(nmm其中n是非负整数，且1n（否则0m）,所以0)3)(3(,8)3(,162222nmnmnmnmm由于,33nmnm并且nm3与nm3同奇偶，都是偶数。所以，2343nmnm或4323nmnm，得16nm或10nm（舍）所以，6m时，方程的两个根为31,21。说明：一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质，解不定方程等手段可以将问题解决。第5页例4、关于x的方程0)2()3(22axaax至少有一个整数解，且a是整数，求a的值。解：当0a时，原方程变成026x，无整数解。当0a时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式)49(4a为完全平方数。令2)49(4na，其中n是正奇数，3n（否则0a）,所以492na。由求根公式得：2219)3(413122)3(2nnananax、，所以nxnx341,34121，要使1x为整数，n为正整数，只能1n，从而2a。要使2x为正整数，n可取7,5,1，从而10,4,2a。综上所述，a的值为10,4,2。说明：本题是前面方法的“综合”。既要用判别式是平方数，又要用直接求根。有时候，往往是几种方法一同使用。同步练习：一.利用判别式例1.当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2440mxx与2244450xmxmm的根都是整数。解：∵方程2440mxx有整数根，∴⊿=16-16m≥0，得m≤1又∵方程2244450xmxmm有整数根第6页∴22164(445)0mmm得54m综上所述，－45≤m≤1∴x可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为－x2-4x+4=0没有整数解，舍去。而m≠0∴m=1例2．已知方程210xmxm有两个不相等的正整数根，求m的值。解：设原方程的两个正整数根为x1，x2，则m=－(x1+x2)为负整数.∴244mm一定是完全平方数设2244mmk（k为正整数）∴22(2)8mk即：(2)(2)8mkmk∵m+2+k≥m+2-k,且奇偶性相同∴2422mkmk或2224mkmk解得m=1＞0（舍去）或m=－5。当m=－5时，原方程为x2-5x+6=0，两根分别为x1=2，x2=3。二.利用求根公式例3．设关于x的二次方程2222(68)(264)4kkxkkxk的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。解：22222(264)4(4)(68)4(6)kkkkkk由求根公式得222642(6)2(68)kkkxkk即12241,142xxkk由于x≠-1，则有12244,211kkxx第7页两式相减，得1224211xx即12(3)2xx由于x1，x2是整数，故可求得122,4xx或122,2xx或121,5xx分别代入，易得k=310，6，3。三.利用方程根的定义例4.b为何值时，方程220xbx和22(1)0xxbb有相同的整数根？并且求出它们的整数根？解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)当b≠2时,x=1+b,代入第一个方程,得2(1)(1)20bbb解得b=1,x=2当b=2时,两方程无整数根.∴b=1,相同的整数根是2四.利用因式分解例5.已知关于x的方程2(1)210axxa的根都是整数，那么符合条件的整数a有___________个.解:当a=1时,x=1当a≠1时,原方程左边因式分解,得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0即得1221,11xxa∵x是整数∴1-a=±1,±2,∴a=-1,0,2,3由上可知符合条件的整数有5个.例6.当m是什么整数时,关于x的方程2(1)10xmxm的两根都是整数?解：设方程的两整数根分别是x1，x2，由韦达定理得121xxm①121xxm②由②①消去m，可得12212xxxx12(1)(1)3131(3)xx则有121113xx或121113xx第8页解得：1224xx或1202xx由此128xx或0，分别代入②，得7m或1m五.利用根与系数的关系例7.求所有正实数a,使得方程240xaxa仅有整数根.解：设方程的两整数根分别是x1，x2，且12xx由根与系数的关系得120xxa①1240xxa②由①得22axa③将③代入②得1214axxxa12142aaxxx∴148x显然x1≠4，故x1可取5，6，7，8。从而易得a=25，18，16。六.构造新方程例8.方程()(8)10xax有两个整数根,求a的值.解：原方程变为2(8)(8)(8)10xax设y=x-8，则得新方程为2(8)10yay设它的两根为y1，y2，则12128,1yyayy∵x是整数，∴y1，y2也是整数，则y1，y2只能分别为1，-1或-1，1即y1+y2=0∴a=8。七.构造等式例9．求所有的正整数