高三文数第二轮复习三角形嵌套专题导学案解析版

高三文科数学第二轮复习三角形嵌套专题(导学案)——方程思想在解三角形中的应用班级:学号:姓名:任务一:知识梳理,课前热身例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度．解在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝23，由余弦定理，得cosC＝BC2＋AC2－AB22BC×AC＝32，∴sinC＝12.在△ADC中，由正弦定理，得ADsinC＝ACsin∠ADC，∴AD＝222×12＝2.训1如图，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝17.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．解(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝17，所以sin∠ADC＝437.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝437×12－17×32＝3314(2)在△ABD中，由正弦定理，得BD＝ABsin∠BADsin∠ADB＝8×3314437＝3.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cosB＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC＝7.思考1：①解题的时候你会考虑优先突破哪一个三角形？②所求的未知量可以放到哪些三角形中求解？你能提供几种方案？任务二:牛刀小试,构建模型例2如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________km.解析：因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.设AC=x,在△ABC和△ADC中，由余弦定理得2222225358cos,cos235285xxDB2222225358coscos7235285xxBDDBx故AC＝7.变式探究：条件同上，则△ADC的面积________km2.解析因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.设,=DB则，在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得AC=82＋52－2×8×5×cos()，AC=＝32＋52－2×3×5×cos，整理得cos＝－12，115120,35sin120324ADCDS思考2：①设边长为未知量后，如何找关于关于边长的方程？②设角度为未知量后，如何找关于关于角度的方程？任务三:课堂实践,举一反三例3（设边）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍．（1）求sinsinBC；（2）若1AD，22DC，求BD和AC的长．解析：（1）1sin2ABDSABADBAD，1sin2ADCSACADCAD，因为2ABDADCSS，BADCAD，所以2ABAC．由正弦定理可得sin1sin2BACCAB．（2）因为::ABDADCSSBDDC，所以2BD．在ABD和ADC中，由余弦定理得2222cosABADBDADBDADB，2222cosACADDCADDCADC．222222326ABACADBDDC．由(Ⅰ)知2ABAC，所以1AC．例4（设角）在△ABC中，903,1,,90ABCABBCPABCBPC，为内一点（1）1,2PBPA求（2）150tanAPBPBA，求的值。解析：（1）903,1,30,60,2ABCABBCBACBCAAC，160302RtPBCBPPBCPBA中222119(3)+()23cos3022432PBAPAPA在中由余弦定理得（2）解一：（利用边CP构造方程）,,120PBAPCBPACAPC设，则2cos=sinsin12023sincostansin1204RtPBCPCAPCPC在中得又在中由正弦定理得解二：（利用边BP构造方程）,30PBAPCBPAB设，则3sin=sin(30)sin1503sin(30)sin23(sin30coscos30sin)sinsin15033cos4sintan4RtPBCPBAPBPB在中得又在中由正弦定理得解三：（利用边AP构造方程）30,60PBAPABPAC设，则23sin(60)sin(30)sin120sin15023sin(60)sin(30)sin120sin15033cos4sintan4PACAPBPAPA在和中由正弦定理分别得和两边用两角差正弦公式展开得5.,1,15,30,ABCDEBCBDDEECBADEADABC例（设边或设角）中，在边上，若则的面积为222222211sinsinsin15sin30sin302sin15312,(31)2(31)41cos45222(31)2312ABEABDADEABADBAEADEABADBADEAEABtAEtABEABAEBEtttABAEttSABAE解一：(设边)在和中由正弦定理分别得和设在中由余弦定理得1333(13)sin45224ABCABESS,13511sinsin(135)sin15sin3011sinsin(135)sin15sin30312tan30sin(135)=3sin306211sin13522(31)ABDABCAEDABDADEADADABDADSBDAD解二：(设角)设则－在和中由正弦定理分别得和－－两角差正弦公式展开得在中－3(31)34ABCABDSS任务四:反思课堂，知识小结思考：本节课你学到了什么？从知识和思维层面？任务五:作业布置，巩固新知1.如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．解析在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝23，∴cosC＝32，∴sinC＝12；在△ADC中，由正弦定理得，ADsinC＝ACsin∠ADC，∴AD＝2sin45°×12＝2.答案22.如图，在△ABC中，∠C＝π3，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝22，则cosA等于()A.223B.24C.64D.63解析：选C.依题意得，BD＝AD＝DEsinA＝22sinA，∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2∠A.在△BCD中，BCsin∠BDC＝BDsinC，4sin2A＝22sinA×23＝423sinA，即42sinAcosA＝423sinA，由此解得cosA＝64.3.在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB长等于________．解：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得，cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝AD·sin∠ADBsinB＝10sin60°sin45°＝10×3222＝56.4.在△ABC中，3,6,32,,4AABACDBCADBDAD点在上，求310ABCBC解：(设边)在由余弦定理分别得,coscosADBDxABDADCADBADC设在和中由余弦定理得和cos=cosADBADC又－2222226(310)18101022(310)xxxxxADxxx5.在△ABC中，3,5,3abCCDc角的平分线，则的值5,3,ADxBDx解：(设边)设coscosACDBCDBCDACD在和中由余弦定理得和cos=cosBCDACD又22222233935251081023323555xxxc