函数的单调性

1函数的单调性南京师大附中陶维林一、内容和内容解析函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如函数单调增表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质．函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质．函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法．这就是，加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画．函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位．教学的重点是，引导学生对函数在区间（a，b）上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间（a，b）上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f（x2）＞f（x1）（或f（x2）＜f（x1）＝，则称函数f（x）在区间（a，b）上单调增（或单调减）．二、目标和目标解析本节课要求学生理解函数在某区间上单调的意义，掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）．1．能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数；2．能够举例，并通过绘制图形说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质；3．对于一个具体的函数，能够用单调性的定义，证明它是增函数还是减函数：在区间上任意取x1，x2，设x1＜x2，作差f（x2）－f（x1），然后判断这个差的正、负，从而证明函数在该区间上是增函数还是减函数．三、教学问题诊断分析学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应．学生还了解函数有三种表示方法，特别是可以借助图象对函数特征加以直观考察．此外，还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数，了解它们的图象及性质．尤其值得注意的是，学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经验．“图象是上升的，函数是单调增的；图象是下降的，函数是单调减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难．困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述．即把某区间上“随着x的增大，y也增大”（单2调增）这一特征用该区间上“任意的x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”（单调增）进行刻画．其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的x1，x2．教学中，通过二次函数这个具体函数的图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，相应地，即“随着x的增大，y也增大”，初步提出单调增的说法．通过讨论、交流，让学生尝试，就一般情况进行刻画，提出“在某区间上，如果对于任意的x1＜x2有f（x1）＜f（x2）”则函数在该区间上具有“图象是上升的”、“随着x的增大，y也增大”的特征．进一步给出函数单调性的定义．然后通过辨析、练习等帮助学生理解这一概念．企图在一节课中完成学生对函数单调性的真正理解可能是不现实的．在今后，学生通过判断函数的单调性，寻找函数的单调区间，运用函数的单调性解决具体问题，等一系列学习活动可以逐步理解这个概念．四、教学支持条件分析为了有效实现教学目标，条件许可，可以借助计算机或者计算器绘制函数图象，同时辅以坐标计算、跟踪点以及等手段观察函数的数字变化特征．五、教学基本流程六、教学过程设计1．用好节前语，引出课题函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就掌握了相应事物的变化规律，因此研究函数的性质十分必要．在事物变化过程，保持不变的特征就是这个事物的性质．问题1观察图1中各个函数的图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？图1用好节前语，引出课题单调性的“直观定义”单调性的“描述性定义”单调性的“定量定义”单调性的简单应用3设计意图：从形到数，借助对函数图象的观察，想象相应的函数的性质．引导单调函数的“直观定义”．可能的回答是，第一个图中的函数图象，自左而右是上升的；第二个图中的函数图象，自左而右，有时是上升的有时是下降的；第三个图中的函数图象，自左而右也是有时上升有时下降的，而且是关于y轴对称的．师：对于运动变化问题，最基本的就是描述变化的快与慢、增与减……相应的，函数的特征就包含：函数的增与减，我们把函数的这种性质称为“单调性”．教师结合上述直观认识，写出课题：函数的单调性．2．函数单调性的“直观定义”结合上述直观认识，给出单调函数的“直观定义”：设函数的定义域为I，区间DI．在区间D上，若函数的图像（从左至右看）总是上升的，则称函数在区间D上是增函数，区间D称为函数的单调增区间；在区间D上，若函数的图像（从左至右看）总是下降的，则称函数在区间D上是减函数，区间D称为函数的单调减区间．例1（教科书第29页例1）图2是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？设计意图：用“直观定义”判断单调性，并强调单调性的“局部性”．图23．函数单调性的“描述性定义”仅从图象上观察出函数的性质，只是得到了“定性刻画”，对函数的变化情况只是“大致了解”，显然不够，我们希望“量化”，这样才能准确．教师借助几何画板作出函数y＝x2的图像，并在函数y＝x2的图像上任画一点P，测量出其横坐标与纵坐标，制作表格．拖动点P，表格自动增行．问题2根据函数的定义，对于自变量x的每一个确定的值，变量y有唯一确定的值与它对应．那么，当一个函数在某一区间上是单调增（或单调减）的时候，相应的，自变量的值与对应的函数值的变化规律是怎样的呢？设计意图：对函数的单调性的刻画，从图形的刻画过渡到数量关系，即从图形语言的表述过渡到自然语言的表述．由上面的表格可见，点P的纵坐标（即函数值）y的变化规律：在区间（－∞，0]上，随着自变量x增大，函数值y减少；在区间[0，＋∞）上，随着自变量x增大，函数值y也增大．由此得到单调函数的“描述性定义”：设函数的定义域为I，区间DI．在区间D上，若随着自变量x增大，函数值y也增大，则称函数在区间D上是增函数；在区间D上，若随着自变量x增大，函数值y反而减小，则称函数在区间D上是减函数．44．从“定性定义”过渡到“定量定义”虽然完成了对函数单调性的从图形语言表述到自然语言的表述，但这样的描述还不是“量化”的，所以，要把定性的数量变化关系转化为定量的数量变化关系．这是本课的重点，也是难点所在．从上面的结论，可以看到，函数在区间D上是增函数，那么随着自变量x增大，函数值y也增大．问题3如果对于区间（a，b）上的任意x有f（x）＞f（a），则函数f（x）在区间（a，b）上单调增．这个说法对吗？请你说明理由（举例或者画图）．设计意图：继续企图通过对描述性定义的辨析，逐渐引出定量定义．必须是两个变化的量的比较．问题4函数f（x）在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当a＜x1＜x2＜…＜…＜b时，有f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜…＜…f（b），能不能说明它在（a，b）单调增？请你说明理由（举例或者画图）．设计意图：本问题较为贴近描述性定义，但这是对描述性定义的误解．通过对函数描述性定义的辨析，逐渐使得同学们认识到要使函数f（x）在区间（a，b）上具有单调增的特征，必须允许自变量x在区间（a，b）上“任意取”，且只要“取两个”就够了．也给学生使用符号说明单调性以示范或提示．从上面的讨论可以看到，函数f（x）在区间（a，b）对任意x有f（x）＞f（a），也不能说明它在（a，b）单调增；在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当a＜x1＜x2＜…＜…＜b时，有f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜…＜…f（b）也不能说明它在（a，b）单调增．那么自变量x在区间（a，b）上到底该怎样取值好呢？我们再来看一看具体的函数f（x）＝x2．教师利用几何画板演示：在函数f（x）＝x2的图象上，位于区间[0，＋∞）任选两个点，自变量大的函数值也一定大．并提出问题5在函数f（x）＝x2，x∈[0，＋∞）的图象上任意取两点，自变量大的函数值也一定大，能否说明函数f（x）＝x2在[0，＋∞）上单调增？设计意图：由问题4可见，刻画函数单调性不在于所取自变量个数的多少，关键在于是否能够任意取值，而且必须任意取两个．这个问题的答案是显然的．教师立即提出“怎样用符号来表示？”的问题．引导学生获得“只要任意x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”即可．经过议论，获得共识——函数单调性的定义．一般地，设函数f（x）的定义域为I．如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．这个定义中的关键词是什么呢？是“任意”二字．5．单调性定义的应用（课堂练习）5练习1画出反比例函数f（x）＝1x的图象，并回答下列问题：（1）指出这个函数的单调性；（2）是否可以说“这个函数在定义域I上是单调减？”为什么？设计意图：通过具体问题，使学生认识函数的单调性是函数在定义域的某个区间上的性质，是函数的局部性质（在整体上未必有）．进一步认识“任意”二字的意义，加深对函数单调性的认识．答：（1）函数f（x）＝1x在区间（－∞，0）上单调减，在区间（0，＋∞）上也单调减．（图象略）．（2）这个函数的定义域I＝（－∞，0）∪（0，＋∞）．不能说“这个函数在定义域I上是单调减”．事实上，取x1＝－1，x2＝1，而f（－1）＝－1，f（1）＝1，f（－1）＜f（1）．练习2物理学中的波利尔定律p＝kV（k是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V减小，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．（教科书第29页例2）设计意图：函数单调性概念的应用．逐步掌握利用单调性定义证明一个函数在某区间上具有某种单调性的步骤．加深对函数单调性的理解．分析怎样来证明“体积V减小，压强p将增大”呢，根据函数单调性的定义，只要证明函数p＝kV（k是正常数）是减函数．怎样证明函数p＝kV（k是正常数）是减函数呢，只要在区间（0，＋∞）（因为体积V＞0）任意取两个大小不相等的值，证明较小的值对应的函数值较大，即设V1＜V2，去证明p1＞p2．也就是只要证明p1－p2＞0．证明：设V1＜V2，V1，V2∈（0，+∞）．p1－p2＝kV1－kV2＝k（V2－V1）V1V2．因为k是正常数，V1＜V2，所以k（V2－V1）V1V2＞0，p1＞p2．所以，体积V减小，压强p将增大．6．课堂小结这节课，我们学习了“函数的单调性”，“如果函数在区间（a，b）单调减，那么这个函数有什么特征？”设计意图：企图明确，f（x）在区间D上是减函数f（x）的图像在区间D上是下降的在区间D上自变量增大函数值减小．类似地，f（x）在区间D上是增函数f（x）的图像在区间D上是上升的在区间D上自变量增大函数值也增大．教师总结研究问题的过程（突出思想方法）——“图形直观——定性刻画——定量刻画”，最后用不等式，即“大小比较”的方法刻画一种变化规律，描述一个变化过程．7．布置课后作业教科书第39页，习题1.3，第1，2，3题．