首发北师大版七年级数学下第五章第五章小结与复习

要点梳理考点讲练当堂练习课堂小结小结与复习第五章生活中的轴对称1.轴对称图形：把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫作轴对称图形.这条直线叫作对称轴.2.轴对称：把一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么这两个图关于这条直线成轴对称.这条直线叫作对称轴.要点梳理一.轴对称图形与轴对称3.轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形轴对称区别联系图形(1)轴对称图形是指()具有特殊形状的图形,只对()图形而言;(2)对称轴()只有一条(1)轴对称是指()图形的位置关系,必须涉及()图形;(2)只有()对称轴.如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.BCAC'B'A'ABC一个一个不一定两个两个一条4.轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.1..等腰三角形的性质名称项目等腰三角形性质①边：两腰相等②角：两个底角相等(等边对等角)③重要线段：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)④对称性：是轴对称图形，对称轴为顶角的平分线或底边上的中线或底边上的高所在的直线二.简单的轴对称图形角平分线上的点到角两边的距离相等.3.角平分线的性质2.线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.考点一轴对称图形与轴对称例1如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A″B″C″和△A′B′C′关于直线EF对称.(1)画直线EF;(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB′与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系.ABCA′B′C′A″B″C″MN考点讲练【分析】连接△A′B′C′和△A″B″C″中的任意一对对应点，作所得线段的垂直平分线即为直线EF，根据轴对称的性质可求角的数量关系.ABCA′B′C′A″B″C″解：（1）如图，连接B′B″,作线段B′B″的垂直平分线EF,则直线EF是△A′B′C′和△A″B″C″的对称轴；（2）连接B″O,B′O,BO,∵△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，∴∠BOM=∠B′OM.∵△A″B″C″和△A′B′C′关于直线EF对称，∴∠B′OE=∠B″OE.∴∠B′OB″=2(∠B′OM+∠B′OE)=2α.EFOMN轴对称和轴对称图形的概念是本章的重点，通过观察日常生活中的轴对称现象，理解轴对称图形和轴对称的概念的区别与联系；学习轴对称变换，不但要会画一个图形关于某直线的对称图形，还要会通过简单的图案设计确定最短路线等.方法总结1.下面的图形是轴对称图形吗?如果是,你能指出它的对称轴吗?针对训练2.如图所示，作出△ABC关于直线x=1的对称图形．xyOx=1ABCA′B′C′解：△A′B′C′就是所求作的图形.考点二等腰三角形的性质例2如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.试说明：∠BAC=2∠DBC.ABCD12E【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.ABCD12E解：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示，则11=2=.2BAC∵AB=AC,∴AE⊥BC.∴∠2+∠ACB=90°.∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠ACB=90°.∴∠2=∠DBC.∴∠BAC=2∠DBC.解：∵AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD.∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE,∴AB=AC=CE,∴AB+BD=DE.例3如图，AD是BC的垂直平分线，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ABCDE考点三线段垂直平分线与角平分线的性质【分析】运用线段的垂直平分线的性质进行线段之间的转化即可.常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的”三线合一”结合起来考查.方法总结例4有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如图.电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置(保留作图痕迹，不要求写出画法).【解析】利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题.解：根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点.(1)作两条公路夹角的平分线OD或OE;(2)作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD,OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置.3.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是.C18厘米ABDE针对训练4.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．ABCEFD(3412P考点四本章的数学思想与解题方法分类讨论思想例5等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长.【解析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况.解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x－8)cm，根据题意得2x+x－8=20,解得x=,∴x－8=;若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得2y+y+8=20,解得y=4,∴y+8=12,但4+4=812,不符合题意.故此等腰三角形的三边长分别为2834328cm,328cm,34cm.3根据等腰三角形的性质求边长或度数时，若已知条件未明确所给的角是顶角还是底角、所给的边是腰还是底边时，要分两种情况才能使答案不致缺漏，同时，求出答案后要和三角形的内角和定理及三角形三边关系对照，若不符合，则答案不成立，要舍去，这样才能保证答案准确.方法总结5.若等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长.解：①若腰长为6，则底边长为4，周长为6+6+4=16；②若腰长为4，则底边长为6，周长为4+4+6=14.故这个三角形的周长为14或16.针对训练生活中的轴对称轴对称现象两个图形成轴对称轴对称图形对称轴简单的轴对称图形等腰三角形的性质轴对称图形的性质对称性“三线合一”底角相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等应用图案设计计算与推理课堂小结见《学练优》本章热点专练课后作业