3稳定性

第三章Lyapunov稳定性理论稳定性是控制系统最重要的性能指标定性的说，如果系统从所需要的工作点附近起动后，系统以后一直将运行停留在这一点周围，就称系统是稳定的例如，对于一个飞行器控制系统，一个典型的稳定性问题是：由一阵风引起的轨线干扰是否会引起此后飞行轨线的显著偏差？2研究非线性控制系统稳定性最常用的是Lyapunov稳定性理论Lyapunov，1892，“运动稳定性的一般问题”分为两类：线性化方法和直接方法3本章内容基本概念非线性系统平衡点稳定（不稳定）渐近稳定、指数稳定、全局稳定Lyapunov线性化方法Lyapunov直接方法平衡点定理不变集理论如何寻找Lyapunov函数？线性时不变系统的分析Krasovskii方法待定梯度法Lyapunov直接方法的控制设计43.1非线性系统与平衡点1非线性系统用非线性微分方程描述：),(txfx的状态向量是一个的非线性向量函数，是一个11nxnf状态向量对应于相空间中的一个点。状态向量包含的变量个数n称为系统的阶系统的一个解x(t)对应状态空间的一条曲线，称为系统轨线。52自治系统与非自治系统线性系统中根据系统矩阵A是否随时间变化分为时变与时不变系统。在一般的非线性系统中，称为自治与非自治。),(txfx如果非线性方程不显含t，即方程可以写为)(xfx则非线性系统称为自治的。严格意义上，所有的物理系统都是非自治的自治（即时不变）系统是一种理想概念，如线性系统一样6自治与非自治的区别：自治系统的状态轨线不依赖于初始时刻，而非线性系统一般不是这样。本章考察自治系统下一章考察非自治系统73平衡点xxtxx则此后状态永远停留在，如果称为系统的一个平衡点状态)(0)(xfx满足代数方程表明向量！稳定性是针对平衡点而言的。只有对于具有唯一平衡点的系统或者所有平衡点同时稳定或不稳定的系统谈及系统稳定与否才有意义84标称运动在某些实际问题中，要研究在某个运动附近的稳定性。例如，飞行器轨线控制问题该类问题可以转化为某个平衡点的平衡点稳定问题)(xfx对自治非线性方程的标称轨线。应于初值为是系统的一个解，即对设0)0()(xxtx00)0(xxx对初始值的扰动000*)0()()0()(xxxxfxxxxfx即)()()(txtxte运动误差满足非自治微分方程),(),(),(tegtxftexfeg(0,t)=0,该新的动态系统以e为状态，以g代替f,原点为其一个平衡点可以通过考察新系统平衡点在扰动下的稳定性来判断原系统标称运动的偏离9一个自治系统对每一个标称运动的稳定性对应于一个等价的非自治系统关于平衡点的稳定性。例：自治的质量-弹簧系统的运动稳定性的轨线研究初值为)(0txx)(,)0(00txxxx相应轨线为设初值被扰动为运动误差e的等价微分方程为非自治103.2稳定的概念1稳定性与不稳定性一个平衡点x=0称为稳定的，如果任给R0，总存在r0，使当||x(0)||r时，||x(t)||R,t0任意指定的RtxtrxrR||)(||,0||)0(||,0,011例：范德波尔振子的不稳定性如果指定R包含在极限环的闭曲线内，可以看出原点是不稳定的120)1(2.02xxxx2渐近稳定性和指数稳定性工程应用中,仅仅保证系统Lyapunov意义上的稳定（包含了临界稳定）是不够的。例如，当卫星的姿态角偏离其正常位置时，不仅要求卫星姿态偏离能保持在一定的幅值范围内，而且要求其姿态角能逐渐回归到初始值。平衡点0称为渐近稳定的，如果它是稳定的，而且存在r0，使当||x(0)||r时，x(t)趋近于0渐近稳定意味着平衡点不仅是稳定的，而且从平衡点邻近的点出发的轨线当时间趋于无穷时，收敛于0平衡点的吸引域：状态空间中最大的一个区域，从此区域出发的一切轨线均收敛于原点。13（在渐近稳定性的定义中，只要求轨线当t趋于无穷时收敛于0，而对系统稳定与否不作要求，可以吗？）从单位圆内任意非零点出发的轨线收敛到原点，但是原点是Lyapunov不稳定的R=1曲线C可能处于模型有效区域之外C14在许多工程应用中，知道系统收敛于平衡点是不够的，需要估计系统轨线趋于0的速度。内成立在原点附近的某个球，使得和如果存在两个正数称为指数稳定的平衡点rtBextxt||)0(||||)(||,0,0上式表示指数稳定系统的状态向量收敛于原点的速度比某个指数函数快。称为指数收敛率)))]((sin1[exp()0()()sin1(:022tdxxtxxxx解为系统例textx|)0(||)(|因此（指数收敛率\lambda为？）15指数稳定蕴涵渐近稳定，而渐近稳定却不保证指数稳定1)0(,2xxx例如对系统因此不是指数稳定的？）都收敛的慢（如何证明但是它比任何指数函数系统是渐近稳定的，它的解是)0(.11tetx16局部性态不能告诉初态离平衡点较远时系统的性态3局部稳定性和全局稳定性如果对任意初值渐近（或指数）稳定成立，则这样的平衡点称为全局渐近（指数）稳定。线性定常系统的稳定性分为3种：渐近稳定、临界稳定、不稳定。线性渐近稳定总是全局和指数稳定的，线性不稳定总是指数发散的。17基本概念非线性系统平衡点稳定（不稳定）渐近稳定、指数稳定、全局稳定Lyapunov线性化方法Lyapunov直接方法平衡点定理不变集理论如何寻找Lyapunov函数？线性时不变系统的分析Krasovskii方法待定梯度法Lyapunov直接方法的控制设计本章内容183.3Lyapunov线性化方法（间接法）“一个非线性系统与其线性逼近在一个小运动范围内应当有相似行为”)(xfx对自治系统假定f(x)连续可微，上式可近似为02)(xxfAxoAxx的线性化衡点称为原非线性系统在平系统0Axx例：求如下系统的线性逼近（1）（2）0)1(425uxxx19定理(Lyapunov线性化方法）如果线性化系统是严格稳定的（A的特征值在左半开平面），那么非线性系统的平衡点是渐近稳定的如果线性化系统是不稳定的（至少有一个A的特征值在右半开平面），那么非线性系统的平衡点是不稳定的如果线性化系统是临界稳定的（A的特征值在左半闭平面，且至少有一个在虚轴上），那么由线性化系统得不到原系统的任何信息（非线性系统的平衡点可能是稳定的、渐近稳定的、不稳定的）20例：使用Lyapunov间接法，考察如下一阶系统的稳定性5bxaxx系统在原点的线性化方程为axx根据上述定理，有a0,a0,a=0,在a=0时，非线性系统为5bxxa=0时，使用Lyapunov间接方法无法判断，而Lyapunov直接方法却能解决21基本概念非线性系统平衡点稳定（不稳定）渐近稳定、指数稳定、全局稳定Lyapunov线性化方法Lyapunov直接方法平衡点定理不变集理论如何寻找Lyapunov函数？线性时不变系统的分析Krasovskii方法待定梯度法Lyapunov直接方法的控制设计本章内容223.4Lyapunov直接方法“如果一个系统的全部能量连续耗散，那么系统（不管是线性的还是非线性的）都将最终停止在一个平衡点处”例：非线性质量-阻尼-弹簧系统0||310xkxkxxbxm动力学方程为假定质量块由弹簧的自然长度拉开一大段距离，然后松手，质点运动是否稳定？该非线性方程的一般解很难求得而且Lyapunov线性化是临界稳定的从能量的角度考察系统性态23系统动能与势能之和是比较机械能与前面定义的稳定性概念：①能量为0对应着平衡点②渐近稳定意味着机械能收敛到平衡点③不稳定对应于机械能的增长系统的稳定性可以通过系统能量的变化来描述：上式表明由于阻尼的存在，系统的能量不断减少，直到质点停止运动上述Lyapunov直接方法的步骤可以推广到更一般的非线性系统243.4.1正定函数与Lyapunov函数非线性质量-阻尼-弹簧系统中，能量函数有两个性质：①除了②当的点外严格为正均为和0xx量函数单调下降依系统方程变化时，能及xx正定函数0)(0,0)0()(0xVxBVxVR内且在一个球称为局部正定的，如果一个标量连续函数如果V(0)=0且上述性质在整个状态空间成立，则称V(x)为全局正定函数例如：摆的机械能是局部正定的呢？呢？22/1)(xmxV25上述定义表明函数V(x)有一个惟一的最小点：原点0。在一个球内，任给一个有惟一最小点的函数，都可以通过在函数上加一个常值的方法使它成为局部正定函数。例：函数1)(2221xxxV下有界，在原点有惟一最小值通过在V(x)加1就变为正定函数，而且导数不变正定函数的几何意义0)(00)0()(xVxVxV且对一切是正半定的，如果26函数的称为系统称负半定的，即的任一轨线的导数为偏导数，而且它沿系统是正定的，且有连续内，函数如果在一个球LyapunovxfxxVxVxfxxVBR)()(0)()()(0Lyapunov函数的几何解释273.4.2平衡点定理Lyapunov局部定理描述平衡点邻域的稳定性质，通常只与局部正定函数有关。1局部稳定性的Lyapunov定理局部稳定性：是渐近稳定的内是负定的，那么在球如果导数是稳定的。那么平衡点负半定正定连续偏导数，并且它具有一阶内，存在一个标量函数如果在一个球0)(0)()(),(00RRBxVxVxVxVB28例1：局部稳定性带有粘性阻尼的单摆方程0sin选取Lyapunov函数为2)cos1()(2xV（局部正定）0sin)(2xV时间导数因此原点是稳定平衡点。仅靠Lyapunov函数，还得不到系统渐近稳定的结论，因为导数是负半定的29例2：渐近稳定性非线性系统取正定函数沿系统轨线的导数为稳定的从而保证了原点是渐近的区域内局部负定。在22221xxV302全局稳定性的Lyapunov定理要保证全局稳定性，需要将上述局部定理中放大到整个状态空间。要给V(x)函数一个附加条件：V(x)是径向无界的)(||||xVxx）沿任何方向趋于无穷时时（当即，当定理（全局稳定性）全局渐近稳定的那么原点作为平衡点是时，当负定正定并且它具有一阶连续偏导数的标量函数假定存在状态)(||||)()(,xVxxVxVVx径向无界的条件用来保证等值曲线(曲面)V(x)对应于一条闭曲线。如果曲线不闭，轨线虽然从高等值线往低等值线走，但却可能漂离平衡点。31例：一类一阶系统非线性系统0)(xcx0,0)(xxxc其中C(x)是连续的，所以C(0)=0.考查候选Lyapunov函数2xV)(22xxcxxV则00,Vx时，当因此同时，函数V(x)是径向无界的，因为当它趋于无穷时,||x所以，x=0是全局渐近稳定的平衡点类似的具体系统有)sin2xxxxx（线性化方程为)03xxx（线性化方程为它们都是全局渐近稳定的32例：二阶系统选取Lyapunov函数为2221)(xxxVV沿任一系统轨线的导数为222212211)(222)(xxxxxxxV因此原点是全局渐近稳定平衡点。Lyapunov分析中的所有定理都是充分性定理。如果对一个候选Lyapunov函数，其导数不满足要求，则对系统稳定性得不到任何结果。惟一的结论是：要去寻找另一个候选Lyapunov函数。333.4.3不变集理论渐近稳定性是控制系统非常重要的性质，但是平衡点定理很难保证这一性质，因为候选Lyapunov函数通常是负半定的。为了得到渐近稳定的结论，需要借助拉塞尔的不变集定理。一个集合G称为一个动态系统的不变集，如果从G中一个点出发的轨线永远停留在G中。不变集是平衡点概念的推广。例：一个平衡点是一个不变集一个